Алгебраическая функция

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция [math]\displaystyle{ F(x_1, x_2, \ldots, x_n) }[/math] называется алгебраической в точке [math]\displaystyle{ A=(a_1, a_2, \ldots, a_n) }[/math], если существует окрестность точки [math]\displaystyle{ A }[/math], в которой верно тождество

[math]\displaystyle{ P( F(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0. }[/math]

где [math]\displaystyle{ P }[/math] есть многочлен от [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного [math]\displaystyle{ F(x) = \sqrt{1-x^2} }[/math] является алгебраической на интервале [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ F^2 + x^2 = 1. }[/math]

Существует аналитическое продолжение функции [math]\displaystyle{ F(x) = \sqrt{1-x^2} }[/math] на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [math]\displaystyle{ [-1, 1] }[/math] или с двумя вырезанными лучами [math]\displaystyle{ (-\infty, -1] }[/math] и [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math]. В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи

Частными случаями алгебраических функций являются:

• степенная функция;
• рациональная функция;

Алгебраические и трансцендентные числа

Основные статьи: Алгебраическое число и Трансцендентное число

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] — алгебраическое иррациональное число, а [math]\displaystyle{ \pi }[/math] — трансцендентное иррациональное число.

См. также

• Аналитическая функция
• Трансцендентная функция

Литература

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.