Поле разложения
По́ле разложе́ния многочлена p над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] — наименьшее расширение [math]\displaystyle{ L }[/math] поля [math]\displaystyle{ K, }[/math] над которым [math]\displaystyle{ p }[/math] разлагается в произведение линейных множителей:
- [math]\displaystyle{ p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n), }[/math] где [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n\in L\supseteq K. }[/math]
При этом [math]\displaystyle{ L= K(x_1,\dots,x_n), }[/math] то есть это максимально возможное поле, все элементы где могут быть образованы сложением и умножением элементов поля [math]\displaystyle{ K }[/math] и чисел [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] как друг с другом, так и между собой. Поэтому о поле [math]\displaystyle{ L }[/math] разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к [math]\displaystyle{ K }[/math] всех корней данного многочлена.
Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов [math]\displaystyle{ p_i(x), i\in I }[/math] — такого расширения L, что каждый pi разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями pi. Поле разложения конечного множества многочленов p1, p2, …, pn, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p1p2…pn.
Поля разложения является нормальным расширением. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.
Свойства
- Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля [math]\displaystyle{ K }[/math].
- Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена pi и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.
Примеры
- Если степень многочлена [math]\displaystyle{ p }[/math] не превосходит [math]\displaystyle{ 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ L=K }[/math].
- Поле комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] служит полем разложения многочлена [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] над полем [math]\displaystyle{ \R }[/math] вещественных чисел.
- Любое конечное поле [math]\displaystyle{ GF (q) }[/math], где [math]\displaystyle{ q=p^n }[/math], есть поле разложения многочлена [math]\displaystyle{ x^q-x }[/math] над простым подполем [math]\displaystyle{ GF(p)\subset GF(q) }[/math].
Литература
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967