Поле разложения

По́ле разложе́ния многочлена p над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] — наименьшее расширение [math]\displaystyle{ L }[/math] поля [math]\displaystyle{ K, }[/math] над которым [math]\displaystyle{ p }[/math] разлагается в произведение линейных множителей:

[math]\displaystyle{ p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n), }[/math] где [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n\in L\supseteq K. }[/math]

При этом [math]\displaystyle{ L= K(x_1,\dots,x_n), }[/math] то есть это максимально возможное поле, все элементы где могут быть образованы сложением и умножением элементов поля [math]\displaystyle{ K }[/math] и чисел [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] как друг с другом, так и между собой. Поэтому о поле [math]\displaystyle{ L }[/math] разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к [math]\displaystyle{ K }[/math] всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов [math]\displaystyle{ p_i(x), i\in I }[/math] — такого расширения L, что каждый p_i разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями p_i. Поле разложения конечного множества многочленов p₁, p₂, …, p_n, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p₁p₂…p_n.

Поля разложения является нормальным расширением. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.

Свойства

• Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля [math]\displaystyle{ K }[/math].
• Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена p_i и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

• Если степень многочлена [math]\displaystyle{ p }[/math] не превосходит [math]\displaystyle{ 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ L=K }[/math].
• Поле комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] служит полем разложения многочлена [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] над полем [math]\displaystyle{ \R }[/math] вещественных чисел.
• Любое конечное поле [math]\displaystyle{ GF (q) }[/math], где [math]\displaystyle{ q=p^n }[/math], есть поле разложения многочлена [math]\displaystyle{ x^q-x }[/math] над простым подполем [math]\displaystyle{ GF(p)\subset GF(q) }[/math].

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967