Возвратное уравнение
Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение от одной переменной вида
- [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(a_kx^k(x^{2n-2k+1} + \lambda^{2n-2k+1})) = 0 \Leftrightarrow a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+a_2x^{2n-1}+\dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dots+a_{n-1}x^{n+2}+a_nx^{n+1}+\lambda^1 a_nx^n+\lambda^3 a_{n-1}x^{n-1}+\lambda^5 a_{n-2}x^{n-2}+\dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dots+\lambda^{2n-3} a_2x^2+\lambda^{2n-1} a_1x+\lambda^{2n+1}a_0 = 0 }[/math]
для нечётной степени [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] и
- [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda^k)) = 0 \Leftrightarrow a_0x^{2n}+a_1x^{2n-1}+a_2x^{2n-2}+\dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dots+a_{n-1}x^{n+1}+a_nx^{n}+\lambda^1 a_{n-1}x^{n-1}+\lambda^2 a_{n-2}x^{n-2}+\lambda^3 a_{n-3}x^{n-3}+\dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dots+\lambda^{n-2} a_2x^2+\lambda^{n-1} a_1x+\lambda^n a_0 = 0 }[/math]
для чётной степени [math]\displaystyle{ 2n }[/math], где [math]\displaystyle{ a_0\neq 0 }[/math]. Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении[1].
Альтернативный способ определения
Многочлен [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{2n+1}(a_kx^k) = }[/math] [math]\displaystyle{ a_{2n+1}x^{2n+1}+\dots+a_2x^2+a_1x^1+a_0 }[/math] нечётной степени [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] называется возвратным, если для некоторого [math]\displaystyle{ \lambda\neq0 }[/math] равенство [math]\displaystyle{ \frac{a_k}{a_{(2n+1)-k}}=\lambda^{2(n-k)+1} }[/math] верно при любом [math]\displaystyle{ k }[/math].
Многочлен [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{2n}(a_kx^k) = }[/math] [math]\displaystyle{ a_{2n}x^{2n}+\dots+a_2x^2+a_1x^1+a_0 }[/math] чётной степени [math]\displaystyle{ 2n }[/math] называется возвратным, если для некоторого [math]\displaystyle{ \lambda\neq0 }[/math] равенство [math]\displaystyle{ \frac{a_k}{a_{(2n)-k}}=\lambda^{(n-k)} }[/math] верно при любом [math]\displaystyle{ k }[/math].
Частные случаи
- В случае, если [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math], то есть последовательность коэффициентов возвратного многочлена симметрична (является палиндромом), уравнение называется симметрическим или симметричным. Если речь идёт о многочлене, участвующем в уравнении, он называется симметричным (не путать с симметрическим многочленом)[1].
Понижение степени и нахождение корней
Любой возвратный многочлен [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(a_kx^k(x^{2n-2k+1} + \lambda^{2n-2k+1})) }[/math] нечётной степени [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] имеет корень [math]\displaystyle{ -\lambda }[/math] и представляется в виде произведения линейного многочлена [math]\displaystyle{ (x+\lambda) }[/math] и многочлена [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\Big(a_kx^k\Big(\frac{x^{2n-2k+1} + \lambda^{2n-2k+1}}{x+\lambda}\Big)\Big) = }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\Big(a_kx^k\sum\limits_{t=0}^{2n-2k}((-1)^tx^t \lambda^{2n-2k-t})\Big) }[/math], имеющего чётную степень [math]\displaystyle{ 2n }[/math] и являющегося возвратным.
Докажем, что многочлен [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\Big(a_kx^k\sum\limits_{t=0}^{2n-2k}((-1)^tx^t \lambda^{2n-2k-t})\Big) }[/math] является возвратным. Его можно переписать в виде [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\Big(a_k\sum\limits_{t=k}^{2n-k}((-1)^{t-k}x^t \lambda^{2n-k-t})\Big) }[/math], и теперь для [math]\displaystyle{ t }[/math] и [math]\displaystyle{ {2n-t} }[/math] в суммировании участвуют одни и те же [math]\displaystyle{ k }[/math]. Тогда коэффициенты при [math]\displaystyle{ x^t }[/math] и [math]\displaystyle{ x^{2n-t} }[/math] разбиваются на пары [math]\displaystyle{ a_k(-1)^{t-k} \lambda^{2n-k-t} }[/math] и [math]\displaystyle{ a_k(-1)^{(2n-t)-k} \lambda^{2n-k-(2n-t)} }[/math] с равными друг другу [math]\displaystyle{ k }[/math]. Отношение чисел любой такой пары равно [math]\displaystyle{ \frac{a_k(-1)^{t-k} \lambda^{2n-k-t}}{a_k(-1)^{(2n-t)-k} \lambda^{2n-k-(2n-t)}} = (-1)^{(t-k) - ((2n-t)-k)}\lambda^{(2n-k-t) - (2n-k-(2n-t))} = }[/math] [math]\displaystyle{ (-1)^{2(t-n)}\lambda^{2(n-t)} = }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda^{2(n-t)} }[/math], следовательно, отношение суммарных коэффициентов при [math]\displaystyle{ x^t }[/math] и [math]\displaystyle{ x^{2n-t} }[/math] равно тому же числу [math]\displaystyle{ \lambda^{2(n-t)} }[/math], а значит, по указанному выше альтернативному определению наш многочлен является возвратным, а число, роль которого в изначальном многочлене нечётной степени играла [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], здесь играет [math]\displaystyle{ \lambda^2 }[/math].
Рассмотрим теперь возвратный многочлен [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda^k)) }[/math] чётной степени [math]\displaystyle{ 2n }[/math]. По определению возвратного многочлена [math]\displaystyle{ a_0\lambda^n\neq0 }[/math], следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде [math]\displaystyle{ x^n\sum_{k=0}^n\Big(a_{n-k}\Big(x^{k}+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big) }[/math], где сумму [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\Big(a_{n-k}\Big(x^{k}+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big) }[/math] можно переписать в виде многочлена относительно [math]\displaystyle{ t=\Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big) }[/math] степени [math]\displaystyle{ n }[/math].
Докажем при помощи полной индукции по [math]\displaystyle{ n }[/math], что любую симметричную относительно замены [math]\displaystyle{ x\leftrightarrow \frac{\lambda}{x} }[/math] сумму [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\Big(a_{n-k}\Big(x^{k}+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big) }[/math] можно переписать в виде многочлена относительно [math]\displaystyle{ t=\Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big) }[/math]. База: [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^1\Big(a_{n-k}\Big(x^{k}+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big) = }[/math] [math]\displaystyle{ \Big(a_1\Big(x^0+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^0\Big) + \Big(a_0\Big(x^1+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^1\Big) = }[/math] [math]\displaystyle{ a_0\Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big)+a_1 = }[/math] [math]\displaystyle{ a_0t+a_1 }[/math]. Переход: предположим, данное утверждение верно для всех степеней, меньших данного [math]\displaystyle{ n }[/math]. Выражение [math]\displaystyle{ t^n=\Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big)^n }[/math] симметрично относительно замены [math]\displaystyle{ x\leftrightarrow \frac{\lambda}{x} }[/math], причём разность его с [math]\displaystyle{ x^n+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^n }[/math] имеет максимальную степень переменной [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] и также симметрична относительно указанной замены, а значит, по предположению индукции представима в виде многочлена относительно [math]\displaystyle{ t }[/math] степени [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]. Тогда выражение [math]\displaystyle{ x^n+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^n }[/math] является разностью выражений [math]\displaystyle{ \Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big)^n }[/math] и [math]\displaystyle{ \Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big)^n - \Big(x^n+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^n\Big) }[/math], каждое из которых представляется в виде многочлена относительно [math]\displaystyle{ t }[/math] степени не больше [math]\displaystyle{ n }[/math], следовательно, и само выражение [math]\displaystyle{ x^n+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^n }[/math] также представляется в виде такого многочлена. Тогда [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\Big(a_{n-k}\Big(x^{k}+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big) = }[/math] [math]\displaystyle{ a_0\Big(x^n+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^n\Big) + \sum_{k=0}^{n-1}\Big(a_{n-k}\Big(x^{k}+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big) }[/math], где первая часть представляется в виде многочлена относительно [math]\displaystyle{ t }[/math] степени не больше [math]\displaystyle{ n }[/math] по доказанному выше, а вторая — по предположению индукции, следовательно, изначальное выражение также представляется в виде многочлена относительно [math]\displaystyle{ t }[/math] степени не больше [math]\displaystyle{ n }[/math].
Найдя все корни [math]\displaystyle{ t_i }[/math] полученного уравнения и решив все уравнения вида [math]\displaystyle{ t_i=x+\frac{\lambda}{x} }[/math] относительно [math]\displaystyle{ x }[/math], получаем корни изначального возвратного уравнения [math]\displaystyle{ x_{2i-1,\; 2i} = \frac{t_i\pm \sqrt{t_i^2-4\lambda}}{2} }[/math].
Разрешимость в радикалах
Как было показано выше, возвратные уравнения степеней [math]\displaystyle{ 2n }[/math] и [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] сводятся к решению уравений степени [math]\displaystyle{ n }[/math], которые разрешимы в радикалах вплоть до [math]\displaystyle{ n=4 }[/math] по теореме Абеля-Руффини. При этом выражение [math]\displaystyle{ \Big(t_i\pm \sqrt{t_i^2-4\lambda}\Big)/2 }[/math], позволяющее получить корни возвратного уравнения (кроме [math]\displaystyle{ (-\lambda) }[/math] для нечётной степени) через корни полученного выше уравнения степени [math]\displaystyle{ n }[/math] относительно [math]\displaystyle{ t }[/math], является алгебраическим. Следовательно, возвратные уравнения, сводящиеся к уравнениям относительно [math]\displaystyle{ t }[/math] степени не более [math]\displaystyle{ 4 }[/math], разрешимы в радикалах, а к таким возвратным уравнениям относятся те, чья степень не превышает [math]\displaystyle{ 9 }[/math].