Двенадцатиугольник

Правильный двенадцатиугольник
Углы	12
Символ Шлефли	{12} t{6}

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, двенадцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае двенадцатиугольника углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

[math]\displaystyle{ \begin{align} A & = 3 \cos\left( \frac{\pi}{12} \right) a^2 = 3 \left( 2+\sqrt{3} \right) a^2 & \simeq 11.196152422706632\,a^2. \end{align} }[/math]

Или, при радиусе описанной окружности R:

[math]\displaystyle{ A = 6 \sin\left( \frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2. }[/math]

Или, при радиусе вписанной окружности r:

[math]\displaystyle{ \begin{align} A & = 12 \tan\left( \frac{\pi}{12}\right) r^2 = 12 \left( 2-\sqrt{3} \right) r^2 & \simeq 3.2153903091734737\,r^2. \end{align} }[/math]

Монеты

Британская монета в три пенса в форме двенадцатиугольника

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольник (в общем случае - [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольный зоногон) можно разбить на [math]\displaystyle{ \frac{m(m-1)}{2} }[/math] ромбов. Для двенадцатиугольника [math]\displaystyle{ m=6 }[/math], так что он может быть разбит на 15 ромбов.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

См. также

• Последовательность двенадцатиугольника

Ссылки

• Двенадцатиугольник Архивная копия от 28 июля 2011 на Wayback Machine на MathWorld
• Dodecagon (12-gon) Архивная копия от 25 ноября 2010 на Wayback Machine