Специальная унитарная группа

Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(n) }[/math].

Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы [math]\displaystyle{ \mathrm U (n) }[/math], состоящей из всех унитарных матриц [math]\displaystyle{ n \times n }[/math].

Генераторы

SU(2)

Для группы [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math] генераторы известны как матрицы Паули:

00

[math]\displaystyle{ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} }[/math]

SU(3)

Аналогом матриц Паули для [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(3) }[/math] служат матрицы Гелл-Манна:

[math]\displaystyle{ \lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} }[/math]

Генераторы для [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(3) }[/math] определяются как [math]\displaystyle{ T }[/math] с использованием соотношения:

[math]\displaystyle{ T_a = \frac{\lambda_a}{2} }[/math].

Они подчиняются следующим соотношениям:

[math]\displaystyle{ \left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} }[/math], где [math]\displaystyle{ f }[/math] — структурная константа, значения которой равны:

[math]\displaystyle{ f_{123} = 1 }[/math],

[math]\displaystyle{ f_{147} = f_{165} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = f_{376} = \frac{1}{2} }[/math],

[math]\displaystyle{ f_{458} = f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math];

[math]\displaystyle{ \operatorname{tr}(T_a) = 0 }[/math].

SU(4)

Эрмитовы матрицы генераторы для [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(4) }[/math], аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид:

[math]\displaystyle{ \lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_9 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lambda_{10} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lambda_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_{14} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \lambda_{15} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} }[/math]

Эти матрицы ортогональны, а также удоволетворяют выражению для следа:

[math]\displaystyle{ Tr{(\lambda_k^2)} = 2; k=1..15 }[/math]

и тождеству Якоби:

[math]\displaystyle{ [[\lambda_l, \lambda_k], \lambda_j ]+[[\lambda_k,\lambda_j],\lambda_l]+[[\lambda_j,\lambda_l],\lambda_k]=0; j\lt k\lt l; j,k,l=1..15 }[/math]

При этом коммутатор вычисляется как:

[math]\displaystyle{ [\lambda_j,\lambda_k] = 2i\sum_m f_{jkl}\lambda_l }[/math]

Таблица структурных констант [math]\displaystyle{ f_{jkl} }[/math]

[math]\displaystyle{ f_{1,2,3} = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ f_{1,4,7} = f_{2,4,6} = f_{2,5,7} = f_{3,4,5} = f_{1,9,12} = f_{2,9,11} = f_{2,10,12} = f_{3,9,10} = f_{4,9,14} = f_{5,10,14} = f_{6,11,14} =f_{7,11,13} = f_{7,12,14} = \frac 1 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f_{1,5,6} = f_{3,6,7} = f_{1,10,11} = f_{3,11,12} = f_{4,10,13} = f_{6,12,13} = -\frac 1 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f_{4,5,8} = f_{6,7,8} = f_{8,9,10} = f_{8,11,12} = f_{9,10,15} = f_{11,12,15} = f_{13,14,15} = \frac {\sqrt{3}} 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f_{8,13,14}= -\frac {\sqrt{3}} 2 }[/math]

Литература

Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics (англ.). — John Wiley & Sons, 1984. — ISBN 0-471-88741-2.
Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.

Ссылки

Physics 558 — Lecture 1, Winter 2003

См. также

Специальная ортогональная группа

Теория групп
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа Произведение Прямое Полупрямое Свободное
Алгебраические свойства	Коммутативная группа Циклическая группа Упорядоченная группа Группа преобразований Разрешимая группа Лемма Шрайера Теорема Лагранжа Теоремы Силова Классификация простых конечных групп
Конечные группы	Конечная циклическая группа C_n Симметрическая группа S_n Диэдрическая группа D_n Знакопеременная группа A_n Четверная группа Клейна Группы Матьё M₁₁ M₁₂ M₂₂ M₂₃ M₂₄ Группы Конвея Co₁ Co₂ Co₃ Группы Янко J₁ J₂ J₃ J₄ Группы Фишера F₂₂ F₂₃ F₂₄ Монстр (М)
Топологические группы	Группы Ли Ортогональная группа O(n) Специальная ортогональная группа SO(n) Унитарная группа U(n) Специальная унитарная группа SU(n) Симплектическая группа Sp(n) Исключительные простые Группа Лоренца Группа Пуанкаре
Алгоритмы на группах	Шрайера — Симса Тодда — Коксетера преобразование Фурье