Тождество Якоби

Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию [math]\displaystyle{ [\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V }[/math] на линейном пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math]. Имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ \forall \, x,y,z \in V\colon [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 }[/math]

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

Коммутатор операторов
коммутатор в алгебре Ли
Скобки Ли векторных полей
Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах Ли

Если умножение [math]\displaystyle{ [\cdot,\cdot] }[/math] антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

[math]\displaystyle{ \mathrm{ad}_x \colon y \mapsto [x,y] }[/math]

Записав тождество Якоби в форме

[math]\displaystyle{ [x,[y,z]] = [y,[x,z]] + [[x,y],z] }[/math]

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора [math]\displaystyle{ \mathrm{ad}_x }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mathrm{ad}_x\,[y,z] = [\mathrm{ad}_x\,y,z] + [y, \mathrm{ad}_x\,z] }[/math]

Таким образом, [math]\displaystyle{ \mathrm{ad}_x }[/math] — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

[math]\displaystyle{ \mathrm{ad}_{[x,y]} = [\mathrm{ad}_x, \mathrm{ad}_y] = \mathrm{ad}_x \mathrm{ad}_y - \mathrm{ad}_y \mathrm{ad}_x }[/math]

Это означает, что оператор [math]\displaystyle{ \mathrm{ad} }[/math] задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

Пусть [math]\displaystyle{ \Omega = \oplus_{i} \Omega^i }[/math] — градуированная алгебра, [math]\displaystyle{ [\cdot,\cdot] }[/math] — умножение в ней. Говорят, что умножение в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов [math]\displaystyle{ \omega_i \in \Omega^i }[/math]

[math]\displaystyle{ [\omega_m,[\omega_k,\omega_l] = [[\omega_m,\omega_k],\omega_l] + (-1)^{m k}[\omega_k,[\omega_m,\omega_l] }[/math]

Примеры

алгебра внешних форм;
алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;