Фибоначчиева система счисления

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Фибоначчиева система счисления — смешанная система счисления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8 и т. д.

Число Запись
в ФСС
Код
Фибоначчи
0 0……0  
F2=1 1 11
F3=2 10 011
F4=3 100 0011
4 101 1011
F5=5 1000 00011
6 1001 10011
7 1010 01011
F6=8 10000 000011
Fn − 1  101010 0101011 
Fn 10……00 00……011
Fn + 1 10……01 10……011

Представление натуральных чисел

Любое неотрицательное целое число [math]\displaystyle{ a }[/math] можно единственным образом представить последовательностью битов …εk…ε4ε3ε2 ([math]\displaystyle{ \varepsilon_k \in \{ 0,1\} }[/math]) так, что [math]\displaystyle{ a = \sum_k \varepsilon_k F_k }[/math], причём последовательность {εk} содержит лишь конечное число единиц, и не имеет пар соседних единиц: [math]\displaystyle{ \forall k\ge 2\colon (\varepsilon_k=1) \Rightarrow (\varepsilon_{k+1}=0) }[/math]. За исключением последнего свойства, данное представление аналогично двоичной системе счисления.

Обоснование

В основе лежит теорема Цекендорфа[1] — любое неотрицательное целое число единственным образом представимо в виде суммы некоторого набора попарно различных чисел Фибоначчи с индексами, большими единицы, не содержащего пар соседних чисел Фибоначчи.

Доказательство существования легко провести по индукции. Любое целое число [math]\displaystyle{ a\ge 1 }[/math] попадёт в промежуток между двумя соседними числами Фибоначчи, то есть для некоторого [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math] верно неравенство: [math]\displaystyle{ F_n \le a \lt F_{n+1} }[/math]. Таким образом, [math]\displaystyle{ a = F_n + a' }[/math], где [math]\displaystyle{ a'=a-F_n\ \lt \ F_{n-1} }[/math], так что разложение числа [math]\displaystyle{ a' }[/math] уже не будет содержать слагаемого [math]\displaystyle{ F_{n-1} }[/math].

Использование

Юпана

Юпана

Предполагают, что некоторые разновидности юпаны (абака инков) использовали фибоначчиеву систему счисления, чтобы минимизировать необходимое для вычислений число зёрен[2].

В теории информации

На основе фибоначчиевой системы счисления строится код (кодирование) Фибоначчи — универсальный код для натуральных чисел (1, 2, 3…), использующий последовательности битов. Поскольку комбинация 11 запрещена в фибоначчиевой системе счисления, её можно использовать как маркер конца записи.

Для составления кода Фибоначчи по записи числа в фибоначчиевой системе счисления следует переписать цифры в обратном порядке (так, что старшая единица оказывается последним символом) и приписать в конце ещё раз 1 (см. таблицу). То есть, кодовая последовательность имеет вид:

ε2ε3…εn1,

где n — номер самого старшего разряда с единицей.

Арифметика

Сложение чисел в позиционных системах счисления выполняется с использованием переноса, позволяющего устранять последствия переполнения разряда. Например, в двоичной системе: 01 + 01 = 02 = 10.

В фибоначчиевой системе счисления дело обстоит сложнее:

  • Во-первых, вес старших разрядов не является кратным весу разряда, из которого требуется перенос. При сложении двух единиц в одном разряде требуется перенос не только влево, но и вправо: 0200 = 1001. При переносе в отсутствующие разряды ε1 и ε0 следует помнить, что F1=1=F2 и F0=0.
  • Во-вторых, требуется избавляться от соседних единиц: 011 = 100. Правило для раскрытия двоек является следствием этого равенства: 0200 = 0100 + 0011 = 0111 = 1001.

Обобщение на вещественные числа

Число Представление
через степени [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]
1      1
2     10,01
3    100,01
4    101,01
5   1000,1001
6   1010,0001
7  10000,0001
8  10001,0001
9  10010,0101
10  10100,0101
11  10101,0101
12 100000,101001
13 100010,001001
14 100100,001001

Похожее устройство имеет позиционная система счисления с иррациональным основанием, равным золотому сечению [math]\displaystyle{ \varphi = (1 + \sqrt{5})/2 }[/math].

Любое вещественное число x из отрезка [0,1] допускает разложение в ряд через отрицательные степени золотого сечения:

[math]\displaystyle{ x = \sum_{k=-1}^{-\infty} \varepsilon_k \varphi^k,\qquad \varepsilon_k \in \{0,1\} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \left\{ \varepsilon_k \right\} }[/math] обладает тем же свойством отсутствия соседних единиц. Коэффициенты находятся последовательным сравнением x с [math]\displaystyle{ \varphi^{-1} }[/math] — золотым сечением отрезка [0,1], вычитанием [math]\displaystyle{ \varphi^{-1} }[/math] (если [math]\displaystyle{ \varepsilon_k = 1 }[/math]) и умножением на [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]. Из этого нетрудно видеть, что любое неотрицательное вещественное число допускает разложение:

[math]\displaystyle{ a = \sum_{k=N-1}^{-\infty} \varepsilon_k \varphi^k\,, }[/math]

где N таково, что [math]\displaystyle{ a \lt \varphi^N }[/math]. Разумеется, следует считать, что [math]\displaystyle{ \varepsilon_k = 0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ k \geqslant N }[/math].

Эти формулы полностью аналогичны формулам для обычных позиционных систем с целыми основаниями. Оказывается, что любое неотрицательное целое число (и, более общо, всякий неотрицательный элемент кольца [math]\displaystyle{ {\mathbb Z}+\varphi{\mathbb Z} }[/math]) имеет представление лишь с конечным количеством единиц, то есть в виде конечной суммы неповторяющихся степеней золотого сечения.[3]

Аналогия между числами Фибоначчи и степенями золотого сечения основана на одинаковой форме тождеств:

[math]\displaystyle{ F_k = F_{k-1} + F_{k-2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \varphi^k = \varphi^{k-1} + \varphi^{k-2} }[/math]

позволяющих устранение соседних единиц. Прямой связи между представлением натуральных чисел в системе золотого сечения и в фибоначчиевой не имеется.

Правила сложения аналогичны показанным выше с той поправкой, что перенос в сторону младших разрядов распространяется без ограничения. В данной системе счисления можно производить и умножение.

Фибоначчиево умножение

Для целых чисел [math]\displaystyle{ a = \sum_k \varepsilon_k F_k\ }[/math] и [math]\displaystyle{ b = \sum_l \zeta_l F_l\ }[/math] можно определить «умножение»[4]

[math]\displaystyle{ a \circ b = \sum_{k,l} \varepsilon_k \zeta_l F_{k+l}, }[/math]

которое аналогично умножению чисел в двоичной системе счисления.

Разумеется, данная операция не является настоящим умножением чисел, и выражается формулой:[5]

[math]\displaystyle{ a\circ b = 3 a b - a \lfloor(b+1)\varphi^{-2}\rfloor - b \lfloor(a+1)\varphi^{-2}\rfloor, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \lfloor\cdot\rfloor }[/math] — целая часть, [math]\displaystyle{ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} }[/math] — золотое сечение.

Эта операция обладает ассоциативностью, на что впервые обратил внимание Дональд Кнут[6]. Другое «произведение» [math]\displaystyle{ \sum_{k,l} \varepsilon_k \zeta_l F_{k+l-2}, }[/math] отличающееся лишь сдвигом на два разряда, уже не является ассоциативным.

Примечания

  1. Эдуард Цекендорф (недоступная ссылка). Дата обращения: 27 января 2010. Архивировано 6 мая 2017 года.
  2. Antonio Aimi, Nicolino De Pasquale. Andean Calculators. Дата обращения: 12 декабря 2009.
  3. Система счисления на основе золотого сечения[англ.]
  4. последовательность A101330 в OEIS (англ.), Теорема Цекендорфа
  5. Notes on the Fibonacci circle and arroba products (англ.)
  6. D. E. Knuth. Fibonacci multiplication (неопр.) // Applied Mathematics Letters. — 1988. — Т. 1, № 1. — С. 57—60. — doi:10.1016/0893-9659(88)90176-0.

Литература

  • Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СПБ. Издательство: Питер, 2006. 320 с. ISBN: 5-469-01369-3
  • Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения: новый подход к теории позиционных систем счисления и компьютерной арифметике// Журнал «Управляющие машины и системы», 1994, No 4-5.
  • Стахов А.П. Компьютеры Фибоначчи и новая теория кодирования: история, теория, перспективы// Электронный журнал Таганрогского радиотехнического университета «Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы», № 2 (18), 2004// http://pitis.tsure.ru/files18/p5.pdf.