Теорема Безу

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] на двучлен [math]\displaystyle{ (x-a) }[/math] равен [math]\displaystyle{ P(a) }[/math].

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] на двучлен [math]\displaystyle{ x-a }[/math]:

[math]\displaystyle{ P(x) = (x - a) Q(x) + R(x), }[/math]

где [math]\displaystyle{ R(x) }[/math] — остаток. Так как [math]\displaystyle{ \deg R(x) \lt \deg (x - a) = 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ R(x) }[/math] — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за [math]\displaystyle{ r }[/math]. Подставляя [math]\displaystyle{ x = a }[/math], поскольку [math]\displaystyle{ (a - a) Q(a) = 0 }[/math], имеем [math]\displaystyle{ P(a) = R(x) = r }[/math].

Следствия

Число [math]\displaystyle{ a }[/math] является корнем многочлена [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] делится без остатка на двучлен [math]\displaystyle{ x-a }[/math] (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] тождественно множеству корней соответствующего уравнения [math]\displaystyle{ P(x)=0 }[/math]).
Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Пусть [math]\displaystyle{ a }[/math] — целый корень приведённого многочлена [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого [math]\displaystyle{ k }[/math] число [math]\displaystyle{ A(k) }[/math] кратно [math]\displaystyle{ a-k }[/math].

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также

Основная теорема алгебры

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.