Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

[math]\displaystyle{ A=\left|\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\right|. }[/math]

Тогда эта форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры [math]\displaystyle{ \Delta_i }[/math] размеров i × i, где i пробегает все целые числа от 1 до n включительно, положительны; а отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки [math]\displaystyle{ \Delta_i }[/math] чередуются, причём [math]\displaystyle{ \Delta_1\lt 0 }[/math]. Здесь угловыми минорами матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] называются определители вида

[math]\displaystyle{ \Delta_1=a_{11},\ \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}, \ldots, \Delta_i=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2i} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii}\end{vmatrix},\ldots }[/math]

Доказательство

Критерий положительной определённости квадратичной формы

Критерий гласит, что

для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры её матрицы были положительны.

Его доказательство основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство необходимости

Пусть [math]\displaystyle{ q(x) }[/math] — положительно определённая квадратичная форма. Тогда j-й диагональный элемент положителен, так как [math]\displaystyle{ q(e_j)\gt 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ e_j }[/math] — вектор со всеми нулевыми координатами, кроме j-й. При приведении матрицы к каноническому виду в силу невырожденности угловых миноров стро́ки не нужно будет переставлять, поэтому в итоге знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, а значит и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях) у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

Доказательство достаточности

Дана симметричная квадратичная форма, все угловые миноры которой положительны. Рассмотрим сначала первый диагональный элемент в каноническом виде: его знак определяется первым угловым минором. Далее, знак числа [math]\displaystyle{ \Delta_{i+1}/\Delta_i }[/math] определяет знак (i + 1)-го элемента в диагональном виде. Получается, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица [math]\displaystyle{ -A }[/math] является положительно определённой. При замене матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же в силу основных свойств определителей.

Критерий полуопределённости квадратичной формы

Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы, симметричной относительно главной диагонали, то есть подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица).

Неотрицательности только угловых миноров недостаточно, что следует из контрпримера [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }[/math]: [math]\displaystyle{ \Delta_1=\Delta_2=0 \geqslant 0 }[/math], но форма не является положительно полуопределённой.

См. также

• Джеймс Джозеф Сильвестр