Однородный многочлен

Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую сумму степеней. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма — однородным многочленом любой степени от двух переменных.

Примеры

[math]\displaystyle{ x^2+y^2 }[/math] — однородный многочлен;

[math]\displaystyle{ x^3+2xy^2 }[/math] — однородный многочлен;

[math]\displaystyle{ x^4+qxyz }[/math] — однородный многочлен;

[math]\displaystyle{ x+yz }[/math] — неоднородный многочлен.

Вариации и обобщения

Однородная функция.

Пусть группа [math]\displaystyle{ G }[/math] действует на векторах из переменных. Многочлен [math]\displaystyle{ P(z) }[/math] называется обобщенно-однородным (относительно действия группы), если для любого элемента [math]\displaystyle{ g }[/math] группы [math]\displaystyle{ P(gz)\equiv hP(z) }[/math], где множитель [math]\displaystyle{ h }[/math] зависит только от [math]\displaystyle{ g }[/math]. Величина (степень, класс, либо другая характеристика) множителя [math]\displaystyle{ h }[/math] называется степенью однородности многочлена.

Например, любой однородный многочлен является обобщённо-однородным относительно диагонального действия алгебраического тора:

[math]\displaystyle{ g\in \mathbb C\setminus\{0\} : g(z_1,\dots,\,z_n)=(gz_1,\dots,\,gz_n), }[/math]

поскольку

[math]\displaystyle{ P(gz)=\sum_{|\alpha|=k} c_\alpha (gz)^\alpha=g^k \sum_{|\alpha|=k} c_\alpha (z)^\alpha=g^kP(z). }[/math]

В данном случае степень однородности многочлена [math]\displaystyle{ k }[/math] совпадает с его степенью.