Циклическая группа
Циклическая группа — группа [math]\displaystyle{ (G, \cdot) }[/math], которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: [math]\displaystyle{ G = \langle a \rangle }[/math].
Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени [math]\displaystyle{ g^n }[/math] будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}, +). }[/math]
Свойства
- Все циклические группы абелевы.
- Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] = [math]\displaystyle{ \{0,1,\dots,n-1\} }[/math] со сложением по модулю n (её также обозначают [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} }[/math]), а каждая бесконечная — изоморфна [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math], группе целых чисел по сложению.
- В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
- Каждая подгруппа циклической группы циклична.
- У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера.
- Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
- Прямое произведение двух циклических групп порядков [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math] циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
- Например, [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12} }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4 }[/math], но не изоморфна [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2 }[/math].
- Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p^n} }[/math], где p — простое число, или [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math].
- Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
- Кольцо эндоморфизмов группы [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] изоморфно кольцу [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math]. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math], который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n^{\times} }[/math].
Примеры
- Группа корней из единицы степени n по умножению.
- Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.
Доказательства
Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.
Доказательство. Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — циклическая группа и [math]\displaystyle{ H }[/math] — подгруппа группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. Если группа [math]\displaystyle{ G }[/math] тривиальна (состоит из одного элемента), то [math]\displaystyle{ H=G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] циклична. Если [math]\displaystyle{ H }[/math] — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то [math]\displaystyle{ H }[/math] циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] не являются тривиальными.
Пусть [math]\displaystyle{ g }[/math] — образующий элемент группы [math]\displaystyle{ G }[/math], а [math]\displaystyle{ n }[/math] — наименьшее положительное целое число, такое что [math]\displaystyle{ g^n \in H }[/math]. Утверждение: [math]\displaystyle{ H=\langle g^n \rangle }[/math]
- [math]\displaystyle{ \langle g^n \rangle \subseteq H }[/math]
- [math]\displaystyle{ {\forall a \in \langle g^n \rangle}\ {\exists z \in \mathbb{Z}} \mid {a=(g^n)^z} }[/math]
- [math]\displaystyle{ g^n \in H \Rightarrow (g^n)^z \in H \Rightarrow a \in H }[/math]
- Следовательно, [math]\displaystyle{ \langle g^n \rangle \subseteq H }[/math].
- [math]\displaystyle{ H \subseteq \langle g^n \rangle }[/math]
- Пусть [math]\displaystyle{ h \in H }[/math].
- [math]\displaystyle{ h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in {\mathbb{Z}} \mid h=g^x }[/math].
- Согласно алгоритму деления с остатком [math]\displaystyle{ \exists q,r \in {\mathbb{Z}} \mid 0 \le r \le n-1 \land x=qn+r }[/math]
- [math]\displaystyle{ h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}g^r=(g^n)^qg^r \Rightarrow g^r=h(g^n)^{-q} }[/math].
- [math]\displaystyle{ h,g^n \in H \Rightarrow g^r \in H }[/math].
- Исходя из того, каким образом мы выбрали [math]\displaystyle{ n }[/math] и того, что [math]\displaystyle{ 0 \le r \le n-1 }[/math], делаем вывод, что [math]\displaystyle{ r=0 }[/math].
- [math]\displaystyle{ r=0 \Rightarrow h=(g^n)^qg^0=(g^n)^q \in \langle g^n \rangle }[/math].
- Следовательно, [math]\displaystyle{ H \subseteq \langle g^n \rangle }[/math].
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
- Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.
