Локальная топологическая группа

Локальная топологическая группа — топологическое пространство, в котором заданы непрерывные операции умножения и взятия обратного элемента, удовлетворяющие аксиомам группы, но, в отличие от топологической группы, определённые лишь в некоторой окрестности единицы. Примером локально топологической группы является любая топологическая группа.

Определение

Локальной топологической группой называется система [math]\displaystyle{ (G,e,W,V,m,i) }[/math], где [math]\displaystyle{ G }[/math] — топологическое пространство, [math]\displaystyle{ e }[/math] — некоторый его элемент, [math]\displaystyle{ W }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math] — открытые подмножества в [math]\displaystyle{ G\times G }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] соответственно, [math]\displaystyle{ e\in V }[/math], [math]\displaystyle{ m\colon W \to G }[/math] — непрерывная операция умножения (обычно обозначают [math]\displaystyle{ m(a,b)=ab }[/math]), [math]\displaystyle{ i\colon V \to G }[/math] — непрерывная операция нахождения обратного элемента (обычно обозначают [math]\displaystyle{ i(a)=a^{-1} }[/math]), если выполнены следующие условия:

1. Для любых элементов [math]\displaystyle{ a,b,c\in G }[/math], для которых определены произведения [math]\displaystyle{ ab,bc,(ab)c,a(bc) }[/math], выполнено [math]\displaystyle{ (ab)c=a(bc) }[/math].
2. Для любого элемента [math]\displaystyle{ a\in G }[/math] произведения [math]\displaystyle{ ae,ea }[/math] определены и равны [math]\displaystyle{ a }[/math].
3. Для любого элемента [math]\displaystyle{ a\in G }[/math] произведения [math]\displaystyle{ aa^{-1},a^{-1}a }[/math] определены и равны [math]\displaystyle{ e }[/math].

Примеры

Каждая топологическая группа (а также любая её окрестность единицы) является локальной топологической группой.

Литература

• Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М.,

Ссылки

• Локальная топологическая группа — статья из Математической энциклопедии. В. Л. Попов