Гомеоморфизм

Гомеоморфи́зм (греч. ὅμοιος — похожий, μορφή — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку при непрерывности биекции образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}_X) }[/math] и [math]\displaystyle{ (Y,\mathcal{T}_Y) }[/math] — два топологических пространства. Функция [math]\displaystyle{ f:X \to Y }[/math] называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также сама [math]\displaystyle{ f }[/math] и обратная функция [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] непрерывны.

Связанные определения

Пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] в таком случае называются гомеомо́рфными, или топологи́чески эквивале́нтными.
- Обычно это отношение обозначается [math]\displaystyle{ X\simeq Y }[/math].
Свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примеры топологических свойств: все виды отделимости в топологических пространствах, связность и несвязность, линейная связность, компактность, односвязность, метризуемость, а также локальные аналоги перечисленных свойств (локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность, локальная метризуемость), свойство быть топологическим многообразием, конечномерность, бесконечномерность и размерность топологических многообразий и др.
Локальным гомеоморфизмом пространств называется непрерывное сюръективное отображение [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math], если каждая точка [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] обладает такой окрестностью [math]\displaystyle{ U\ni x }[/math], что ограничение [math]\displaystyle{ f }[/math] на [math]\displaystyle{ U }[/math] является гомеоморфизмом [math]\displaystyle{ f|_U:U\to f(U) }[/math] между [math]\displaystyle{ U }[/math] и её образом [math]\displaystyle{ f(U) }[/math].
- Пример. Отображение [math]\displaystyle{ x \to (\cos x, \sin x) }[/math] является локальным гомеоморфизмом между числовой прямой [math]\displaystyle{ {\mathbb R} }[/math] и окружностью [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]. Однако эти пространства не гомеоморфны, например, потому, что окружность компактна, а прямая - нет.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть [math]\displaystyle{ |a,b|\subset \mathbb{R} }[/math] — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть [math]\displaystyle{ f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R }[/math] — биекция. Тогда [math]\displaystyle{ f }[/math] является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ f }[/math] строго монотонна и непрерывна на [math]\displaystyle{ |a,b|. }[/math]

Пример

Произвольный открытый интервал [math]\displaystyle{ (a,b) \subset \mathbb{R} }[/math] гомеоморфен всей числовой прямой [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. Гомеоморфизм [math]\displaystyle{ f:(a,b) \to \mathbb{R} }[/math] задаётся, например, формулой

[math]\displaystyle{ f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right). }[/math]

Интервал [math]\displaystyle{ (0, \; 1) }[/math] гомеоморфен отрезку [math]\displaystyle{ [0, \; 1] }[/math] в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

См. также

Примечания

Литература

Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.

Ссылки

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Homeomorphism, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4