Теорема Бёрнсайда
Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.
Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века.[1] Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп. Доказательство без использования характеров группы было найдено Голдсмитом гораздо позже.[2]
Формулировка
Пусть группа [math]\displaystyle{ G }[/math] имеет порядок [math]\displaystyle{ p^a\cdot q^b }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] — простые числа. Тогда [math]\displaystyle{ G }[/math] — разрешима.
Замечания
- Из теоремы следует, что каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.
- В частности наименьшая неабелева конечная простая группа — знакопеременная группа [math]\displaystyle{ A_5 }[/math] имеет порядок [math]\displaystyle{ 60=5\cdot 3\cdot 2^2 }[/math].
Схема доказательства Бёрнсайда
- Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа [math]\displaystyle{ G }[/math] данного порядка — абелева[3].
- По теореме Силова, группа [math]\displaystyle{ G }[/math] имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера [math]\displaystyle{ p^r }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ r\geqslant 1 }[/math]. В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы [math]\displaystyle{ G }[/math], она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math], такой что класс сопряжённости элемента [math]\displaystyle{ x }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ p^r\gt 1 }[/math].
- Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера [math]\displaystyle{ \chi }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] такого, что [math]\displaystyle{ |\chi(x)|=\chi(1) }[/math].
- Из простоты группы [math]\displaystyle{ G }[/math] следует, что любое комплексное неприводимое представление характера [math]\displaystyle{ \chi }[/math] верно (или точно), и отсюда следует, что [math]\displaystyle{ x }[/math] принадлежит центру группы [math]\displaystyle{ G }[/math], что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.
Вариации и обобщения
- Наименьшее простое число в разложении порядка неразрешимой конечной группы, входит в разложение в степени хотя бы 2.
Примечания
- ↑ Burnside, W. (1904), On Groups of Order pαqβ, Proc. London Math. Soc. (no. s2-1 (1)): 388–392, doi:10.1112/plms/s2-1.1.388, <https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf>
- ↑ Goldschmidt, David M. (1970), A group theoretic proof of the paqb theorem for odd primes, Math. Z. Т. 113: 373–375, DOI 10.1007/bf01110506
- ↑ Скорняков Л. А. Элементы алгебры. — М.: Наука, 1986. — С. 228-229. — Тираж 21 000 экз.
Литература
- James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31.
- Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.