Ряд Лорана

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Определение

Ряд Лорана в конечной точке [math]\displaystyle{ z_{0}\in\mathbb C }[/math] — функциональный ряд по целым степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math] над полем комплексных чисел:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n,\quad }[/math] где переменная [math]\displaystyle{ z\in{\mathbb C}\setminus\{z_{0}\} }[/math], а коэффициенты [math]\displaystyle{ c_n\in\mathbb C }[/math] для [math]\displaystyle{ n\in\mathbb Z }[/math].

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n }[/math] — часть по неотрицательным степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math],
[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^n} }[/math] — часть по отрицательным степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math].

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если [math]\displaystyle{ A_{z_{0}} \subseteq ({\mathbb C}\setminus\{z_{0}\}) }[/math] — область сходимости ряда Лорана такая, что [math]\displaystyle{ z_{0}\in\partial{A_{z_{0}}} }[/math], то для [math]\displaystyle{ A_{z_{0}} }[/math]

ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n }[/math] называется правильной частью,

ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^n} }[/math] называется главной частью.

Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке [math]\displaystyle{ z_{0}=\infty \in\overline{\mathbb C} }[/math] — функциональный ряд по целым степеням [math]\displaystyle{ z }[/math] над полем комплексных чисел:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n z^n,\quad }[/math] где переменная [math]\displaystyle{ z\in\mathbb C\setminus\{0\} }[/math], а коэффициенты [math]\displaystyle{ c_n\in\mathbb C }[/math] для [math]\displaystyle{ n\in\mathbb Z }[/math].

По внешнему виду ряд для [math]\displaystyle{ z_{0}=\infty }[/math] совпадает с рядом для [math]\displaystyle{ z_{0}=0 }[/math], однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены [math]\displaystyle{ z \leftrightarrow \frac{1}{\zeta} }[/math] для [math]\displaystyle{ \zeta_{0}=0 }[/math].

Если [math]\displaystyle{ A_{\infty} \subseteq ({\mathbb C}\setminus\{0\}) }[/math] — область сходимости ряда Лорана такая, что [math]\displaystyle{ \infty\in\partial{A_{\infty}} }[/math], то для [math]\displaystyle{ A_{\infty} }[/math]

ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{0}c_n z^n }[/math] называется правильной частью,

ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=+1}^{+\infty}{c_{n}}{z^n} }[/math] называется главной частью.

Свойства

Часть по положительным степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math] сходится во внутренности [math]\displaystyle{ D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|\lt R\} }[/math] круга радиуса [math]\displaystyle{ R = \dfrac{1}{ {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |c_n|^{1/n} } \in [0; +\infty] }[/math],

часть по отрицательным степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math] сходится во внешности [math]\displaystyle{ \Delta_{r}=\overline{\mathbb C}\setminus\overline{D}_{r}=\{z\in\overline{\mathbb C}: |z-z_{0}|\gt r\} }[/math] круга [math]\displaystyle{ D_{r} }[/math] радиуса [math]\displaystyle{ r = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |c_{-n}|^{1/n} \in [0; +\infty] }[/math].

Поэтому, если [math]\displaystyle{ r\lt R\, }[/math], то внутренность [math]\displaystyle{ A }[/math] области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

[math]\displaystyle{ A= \{z\in\mathbb C\mid 0\leq r\lt |z-z_{0}|\lt R\leq +\infty\}=\Delta_{r} \cap D_{R} }[/math].

Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности [math]\displaystyle{ C_{R}(z_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|= R\} }[/math] зависит только от [math]\displaystyle{ \sum_{n=n_{s}}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n }[/math] для произвольного [math]\displaystyle{ n_{s}\in\mathbb N }[/math],

а в точках граничной окружности [math]\displaystyle{ C_{r}(z_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|= r\} }[/math] — только от [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^n} }[/math] для произвольного [math]\displaystyle{ n_{s}\in\mathbb N }[/math].

Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца [math]\displaystyle{ A }[/math] может быть разнообразным.

Во всех точках кольца [math]\displaystyle{ A }[/math] ряд Лорана сходится абсолютно.
На любом компактном подмножестве [math]\displaystyle{ K\subset A }[/math] ряд сходится равномерно.
Для каждой точки [math]\displaystyle{ \zeta_{0} \in A }[/math] существует такое значение [math]\displaystyle{ \rho(\zeta_{0})=\min\{\textrm{dist}(C_{r}(z_{0}), \zeta_{0}), \textrm{dist}(C_{R}(z_{0}), \zeta_{0})\} \gt 0 }[/math], что [math]\displaystyle{ D_{\rho}(\zeta_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-\zeta_{0}|\lt \rho(\zeta_{0})\}\subset A }[/math], и ряд Лорана [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] может быть записан в виде сходящегося в [math]\displaystyle{ D_{\rho}(\zeta_{0}) }[/math] ряда по степеням [math]\displaystyle{ (z-\zeta_{0}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n=\sum_{k=0}^{+\infty}t_k(\zeta_{0})(z-\zeta_{0})^k,\quad }[/math] где [math]\displaystyle{ z \in D_{\rho}(\zeta_{0}) }[/math], а [math]\displaystyle{ t_k(\zeta_{0})=\frac{f^{(k)}(\zeta_{0})}{k!} }[/math] для [math]\displaystyle{ k\in\{0\}\cup\mathbb N }[/math],

т.е. [math]\displaystyle{ \zeta_{0} }[/math] является для [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в [math]\displaystyle{ A }[/math] есть аналитическая функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math].

Для [math]\displaystyle{ 0\lt r\lt R\lt +\infty }[/math] на граничных окружностях кольца сходимости [math]\displaystyle{ A }[/math] существуют непустые множества [math]\displaystyle{ I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0}) }[/math], [math]\displaystyle{ I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0}) }[/math] точек, не являющихся для [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] правильными.
Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном [math]\displaystyle{ K\subset A }[/math] почленно.
Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в [math]\displaystyle{ A }[/math] функцию только при [math]\displaystyle{ c_{-1} = 0 }[/math], поскольку для любого [math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math] значение [math]\displaystyle{ \int\limits_{\;\,|z-z_{0}|=\rho}c_{n} (z-z_{0})^{n}\cdot dz= \left\{ \begin{array}{ll} c_{-1}\cdot 2\pi i\, , & n=-1\, ; \\ 0\, , & n\neq -1\, . \end{array} \right. }[/math]

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty, n \neq -1}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n\, }[/math], представляющий в двусвязной области [math]\displaystyle{ A }[/math] функцию [math]\displaystyle{ f(z)-\frac{c_{-1}}{z-z_{0}}\, }[/math], для любого компактного [math]\displaystyle{ K\subset A }[/math] и любой спрямляемой ориентированной кривой [math]\displaystyle{ \gamma \subset K }[/math] можно интегрировать по [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] и не зависит от формы кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math].

Коэффициенты [math]\displaystyle{ (c_n)_{n\in \mathbb Z} }[/math] ряда Лорана [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] удовлетворяют соотношениям

[math]\displaystyle{ c_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}=\frac1{2\pi i}\int\limits_{|z-z_{0}|=\rho}\frac{f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном [math]\displaystyle{ K\subset A }[/math] и один раз обходящая против часовой стрелки точку [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math]. В частности, в качестве [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] можно взять любую окружность [math]\displaystyle{ C_{\rho}=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0; 2\pi]\} }[/math] радиуса [math]\displaystyle{ \rho \in (r; R) }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math], расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр [math]\displaystyle{ t }[/math] должен возрастать).

Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math], сходящихся в [math]\displaystyle{ A_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ A_{2} }[/math] соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности [math]\displaystyle{ C_{\rho}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|=\rho\} \subset (A_{1} \cap A_{2}) }[/math] или на гомотопной ей по [math]\displaystyle{ A_{1} \cap A_{2} }[/math] спрямляемой кривой [math]\displaystyle{ \gamma \sim C_{\rho} }[/math], то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], являющаяся однозначной и аналитической в кольце [math]\displaystyle{ A= \{z\in\mathbb C\mid 0\leq r\lt |z-z_{0}|\lt R\leq +\infty\} }[/math], представима в [math]\displaystyle{ A }[/math] сходящимся рядом Лорана по степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math].

Представление однозначной аналитической функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности [math]\displaystyle{ A_{z_{0}} }[/math] изолированной особой точки:

1) если точка [math]\displaystyle{ z_{0}\neq \infty }[/math], то существует радиус [math]\displaystyle{ R_{z_{0}}\in (0; +\infty] }[/math] такой, что в проколотой окрестности

[math]\displaystyle{ A_{z_{0}}= \{z\in\mathbb C\mid 0\lt |z-z_{0}|\lt R_{z_{0}}\}\quad }[/math]

функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка [math]\displaystyle{ z_{0}= \infty }[/math], то существует радиус [math]\displaystyle{ r_{\infty}\in [0; +\infty) }[/math] такой, что в проколотой окрестности

[math]\displaystyle{ A_{\infty}= \{z\in\mathbb C\mid r_{\infty}\lt |z|\lt \infty\} }[/math]

функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math] определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности [math]\displaystyle{ A_{z_{0}} }[/math]:

Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература

Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том 1: Начала теории. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — 486 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е. — М.: Наука, 1984. — 432 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Последовательности и ряды
Последовательности	Числовая последовательность Фундаментальная последовательность Линейная рекуррентная последовательность Числа Фибоначчи Фигурные числа Факториал Последовательность Баркера Последовательность де Брёйна
Ряды, основное	Сумма ряда Остаток ряда Условная сходимость Знакочередующийся ряд Мультисекция ряда
Числовые ряды (действия с числовыми рядами)	Гармонический ряд Ряд Лейбница Ряд обратных квадратов Ряд обратных простых чисел Ряд Дирихле Ряд Меркатора Ряд Гранди 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + …
Функциональные ряды	Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический ряд Ряд Винера
Другие виды рядов	Ряд Неймана Ряд Пюизё