Изолированная особая точка

Изолированная особая точка — точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] однозначна и аналитична, а в самой точке либо не задана, либо недифференцируема. Например, точка 0 функции [math]\displaystyle{ {1}/{z} }[/math] является изолированной особой точкой.

Если [math]\displaystyle{ a }[/math] — изолированная особая точка для [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], то [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], будучи аналитической в некоторой проколотой окрестности этой точки, разлагается в ряд Лорана, сходящийся в этой окрестности:

[math]\displaystyle{ f(z)=\sum_{n\in\Z}a_n(z-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-a)^n} }[/math].

Первая часть этого разложения называется правильной частью ряда Лорана, вторая — главной частью ряда Лорана.

Тип особой точки функции определяется по главной части этого разложения — точка может быть устранимой (если главная часть нулю), полюсом (главная часть содержит конечное число ненулевых членов) или существенно особой (главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов).