Вписанная и вневписанные в треугольник окружности

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (JA,JB,JC), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[en]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[en] и биссектрис двух других внешних углов[en]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[en][1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника.[2]

Вписанная окружность

Пусть [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] имеет вписанную окружность радиуса r с центром I. Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB. Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда [math]\displaystyle{ \angle AC'I }[/math] является прямым. Тогда радиус C’I будет высотой треугольника [math]\displaystyle{ \triangle IAB }[/math]. Таким образом, [math]\displaystyle{ \triangle IAB }[/math] имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}cr }[/math]. Подобным же образом [math]\displaystyle{ \triangle IAC }[/math] имеет площадь [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}br }[/math] и [math]\displaystyle{ \triangle IBC }[/math] имеет площадь [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}ar }[/math]. Поскольку эти три треугольника разбивают [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math], получаем, что

[math]\displaystyle{ \Delta = \frac{1}{2} (a+b+c) r = p r, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — площадь [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math], а [math]\displaystyle{ p= \frac{1}{2}(a+b+c) }[/math] — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим [math]\displaystyle{ \triangle IC'A }[/math]. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен [math]\displaystyle{ r\cdot\mathrm{ctg} \frac{\angle A}{2} }[/math]. То же самое верно для [math]\displaystyle{ \triangle IB'A }[/math]. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

[math]\displaystyle{ \Delta = r^2\cdot(\mathrm{ctg} \frac{\angle A}{2} + \mathrm{ctg} \frac{\angle B}{2} + \mathrm{ctg} \frac{\angle C}{2}) }[/math]

Вневписанные окружности

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен [math]\displaystyle{ r_c }[/math], а её центр — [math]\displaystyle{ I_c }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ I_c G }[/math] является высотой треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ACI_c }[/math], так что [math]\displaystyle{ \triangle ACI_c }[/math] имеет площадь [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}br_c }[/math]. По тем же причинам [math]\displaystyle{ \triangle BCI_c }[/math] имеет площадь [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}ar_c }[/math], а [math]\displaystyle{ \triangle ABI_c }[/math] имеет площадь [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}cr_c }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \Delta = \frac{1}{2}(a+b-c)r_c = (p-c)r_c }[/math].

Таким образом, ввиду симметрии,

[math]\displaystyle{ \Delta = pr = (p-a)r_a = (p-b)r_b = (p-c)r_c }[/math].

По теореме косинусов получаем

[math]\displaystyle{ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} }[/math]

Комбинируя это с тождеством [math]\displaystyle{ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 }[/math], получим

[math]\displaystyle{ \sin A = \frac{\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2}}{2bc} }[/math]

Но [math]\displaystyle{ \Delta = \tfrac{1}{2}bc \sin A }[/math], так что

[math]\displaystyle{ \begin{align} \Delta &= \frac{1}{4} \sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2} \\ &= \frac{1}{4} \sqrt{ (a+b+c) (-a+b+c) (a-b+c) (a+b-c) }\\ & = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \end{align} }[/math]

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с [math]\displaystyle{ pr=\Delta }[/math], получим

[math]\displaystyle{ r^2 = \frac{\Delta^2}{p^2} = \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }[/math].

Аналогично, [math]\displaystyle{ (p-a)r_a = \Delta }[/math] даёт

[math]\displaystyle{ r_a^2 = \frac{p(p-b)(p-c)}{p-a} }[/math].

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:[3]

[math]\displaystyle{ \Delta=\sqrt{rr_ar_br_c}. }[/math]

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{3\sqrt{3}} }[/math], и равенство достигается только на правильных треугольниках.[4]

Связанные построения

Окружность девяти точек и точка Фейербаха

Треугольник и точка Жергонна

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔTaTbTc) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим TA, и т. д.. Точка TA лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга[en] с выколотым центром.[6]

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.[7]

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

  • вершина [math]\displaystyle{ A= 0 : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) :\sec^2\left(\frac{C}{2}\right) }[/math]
  • вершина [math]\displaystyle{ B= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right):0:\sec^2\left(\frac{C}{2}\right) }[/math]
  • вершина [math]\displaystyle{ C= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) :\sec^2\left(\frac{B}{2}\right):0 }[/math]

Трилинейные координаты точки Жергонна

[math]\displaystyle{ \sec^2\left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right) }[/math],

или, эквивалентно, по теореме синусов,

[math]\displaystyle{ \frac{bc}{b+ c - a} : \frac{ca}{c + a-b} : \frac{ab}{a+b-c} }[/math].

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

  • вершина [math]\displaystyle{ A = 0 : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right) }[/math]
  • вершина [math]\displaystyle{ B= \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right) }[/math]
  • вершина [math]\displaystyle{ C = \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0 }[/math]

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

[math]\displaystyle{ \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right) }[/math],

или, эквивалентно, по теореме синусов,

[math]\displaystyle{ \frac{b+ c - a}{a} : \frac{c + a-b}{b} : \frac{a+b-c}{c} }[/math].

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

  • вершина [math]\displaystyle{ A= 0 : 1 : 1 }[/math]
  • вершина [math]\displaystyle{ B= 1 : 0 : 1 }[/math]
  • вершина [math]\displaystyle{ C= 1 : 1 : 0 }[/math]

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

  • вершина [math]\displaystyle{ A= -1 : 1 : 1 }[/math]
  • вершина [math]\displaystyle{ B= 1 : -1 : 1 }[/math]
  • вершина [math]\displaystyle{ C= 1 : -1 : -1 }[/math]

Уравнения окружностей

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов:[8]

  • Вписанная окружность:
[math]\displaystyle{ \ u^2x^2+v^2y^2+w^2z^2-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm\sqrt{z}\cos \frac{C}{2}=0 }[/math]
  • A-внешневписанная:
[math]\displaystyle{ \ u^2x^2+v^2y^2+w^2z^2-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \pm \sqrt{-x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm\sqrt{z}\cos \frac{C}{2}=0 }[/math]
  • B-внешневписанная:
[math]\displaystyle{ \ u^2x^2+v^2y^2+w^2z^2+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{-y}\cos \frac{B}{2}\pm\sqrt{z}\cos \frac{C}{2}=0 }[/math]
  • C-внешневписанная:
[math]\displaystyle{ \ u^2x^2+v^2y^2+w^2z^2+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm\sqrt{-z}\cos \frac{C}{2}=0 }[/math]

Другие свойства вписанной окружности

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности

  • [math]\displaystyle{ r= \frac{p-a}{\operatorname{ctg}(\alpha/2)} = \frac{p-b}{\operatorname{ctg}(\beta/2)} = \frac{p-c}{\operatorname{ctg}(\gamma/2)} }[/math], [math]\displaystyle{ p }[/math] — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).
  • Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника.[9]
  • Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника.[10]
  • Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус[11]
[math]\displaystyle{ r = \sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}} }[/math]

и площадь треугольника равна

[math]\displaystyle{ K=\sqrt{xyz(x+y+z)}. }[/math]
  • Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть
[math]\displaystyle{ r = \frac{1}{h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1}}. }[/math]
  • Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен[1]
[math]\displaystyle{ rR=\frac{abc}{2(a+b+c)}. }[/math]
  • Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей:[12]
[math]\displaystyle{ ab+bc+ca=s^2+(4R+r)r, }[/math]
[math]\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=2s^2-2(4R+r)r. }[/math]
  • Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.[13]
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности [14].

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:[10]

[math]\displaystyle{ (R-r_{in})^2=d^2+r_{in}^2, }[/math]

где R и rin являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

[math]\displaystyle{ (R+r_{ex})^2=d^2+r_{ex}^2, }[/math]

где rex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей. [15] [16] [17]

  • Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением[18]

[math]\displaystyle{ OI^2=d^2=R(R-2r_{in}), }[/math]

Аналогично для второй формулы:

[math]\displaystyle{ d^2=R(R+2r_{ex}). }[/math]

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

[math]\displaystyle{ IN=\frac{1}{2}(R-2r) \lt \frac{1}{2}R. }[/math]
  • Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны.[19] Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,
[math]\displaystyle{ BT_A=BT_C=\frac{BC+AB-AC}{2}. }[/math]


  • Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим[20]
[math]\displaystyle{ \frac{IA\cdot IA}{CA \cdot AB}+ \frac{IB \cdot IB}{AB\cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC\cdot CA} = 1 }[/math]

и[21]

[math]\displaystyle{ IA \cdot IB \cdot IC=4Rr^2. }[/math]
  • Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то [math]\displaystyle{ \frac{AI}{DI} = \frac{AB + AC}{BC} }[/math]
  • Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника.[18]
  • Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда [math]\displaystyle{ |DI|=|DB|=|DC|=|DJ| }[/math].
  • Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности.[10]
Теорема Харкорта
[math]\displaystyle{ a a ^\prime + b b^\prime + c c^\prime = 2K. }[/math].

Другие свойства вневписанных окружностей

  • Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей ra, rb, rc:[12]
[math]\displaystyle{ r_a+r_b+r_c=4R+r, }[/math]
[math]\displaystyle{ r_a r_b+r_br_c+r_cr_a = s^2, }[/math]
[math]\displaystyle{ r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 = (4R+r)^2 -2s^2, }[/math]
  • Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R.[12]
[math]\displaystyle{ r_a+r_b+r_c+r=AH+BH+CH+2R, }[/math]
[math]\displaystyle{ r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=AH^2+BH^2+CH^2+(2R)^2. }[/math]
  • Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC,

где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей. [10]

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности [14].
  • Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей [22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок).[23].

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен [math]\displaystyle{ \frac{r^2+s^2}{4r} }[/math], где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.[24]

Определение точки Аполлония Ap

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника.[25]

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника.[25]

Обобщение на другие многоугольники

[math]\displaystyle{ AB+BC=AD+DC\quad\Leftrightarrow\quad AE+EC=AF+FC. }[/math]

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. 189, #298(d).
  2. ↑ H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2. — Wiley, 1961..
  3. ↑ Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
  4. ↑ D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
  5. ↑ С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
  6. ↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
  7. ↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
  8. ↑ William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books).
  9. ↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
  10. ↑ 10,0 10,1 10,2 10,3 А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
  11. ↑ Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 12,3 Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
  13. ↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141-146..
  14. ↑ 14,0 14,1 Мякишев, 2002, с. 11, п. 5.
  15. ↑ Roger Nelson. Euler's triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58-61.
  16. ↑ R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  17. ↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
  18. ↑ 18,0 18,1 18,2 William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 231–236..
  19. ↑ Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
  20. ↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March. — С. 161-165..
  21. ↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
  22. ↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
  23. ↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175-182.
  24. ↑ Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187-195..
  25. ↑ 25,0 25,1 В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.

Литература

  • Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
  • Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
  • Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.
  • Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

Ссылки

Сайты с интерактивным содержанием

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Вписанная_и_вневписанные_в_треугольник_окружности&oldid=5878043