Класс Чженя
Классы Чженя (или класс Черна) — это характеристические классы, ассоциированные с комплексными[англ.] векторными расслоениями.
Классы Чженя ввёл Шиинг-Шен Чжень[1].
Геометрический подход
Базовая идея и предпосылки
Классы Чженя — это характеристические классы. Они являются топологическими инвариантами, ассоциированными с векторными расслоениями на гладких многообразиях. Вопрос, являются ли два внешне различные векторные расслоения одним и тем же расслоением может оказаться достаточно сложной задачей. Классы Чженя дают простой тест — если классы Чженя пары векторных расслоений не согласуются, векторные расслоения различны. Обратное, однако, не верно.
В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, как много линейно независимых сечений имеет векторное расслоение. Классы Чженя дают некоторую информацию об этом посредством, например, теоремы Римана — Роха и теоремы Атьи — Зингера об индексе.
Классы Чженя также удобны для практических вычислений. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии), классы Чженя можно выразить как многочлены от коэффициентов формы кривизны.
Построение классов Чженя
Существуют различные подходы к классам, каждый из которых фокусируется на слегка различных свойствах классов Чженя.
Исходным подходом к классам Чженя был подход со стороны алгебраической топологии — классы Чженя возникают через теорию гомотопии, которая позволяет построить ассоциированное с расслоением V отображение многообразия в классифицирующее пространство[англ.] (бесконечный грассманиан в этом случае). Для любого векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство, такое что расслоение V равно прообразу (относительно f) универсального расслоения над классифицирующим пространством, а классы Чженя расслоения V можно поэтому определить как прообразы классов Чженя универсального расслоения. Эти универсальные классы Чженя, в свою очередь, можно выписать явно в терминах циклов Шуберта[англ.].
Можно показать, что два отображения f и g из M в классифицирующее пространство, прообразы относительно которых являются тем же самым расслоением V, должны быть гомотопными. Таким образом, прообразы относительно f и g любого универсального класса Чженя в классе когомологий многообразия M должны быть одним и тем же классом. Это показывает, что классы Чженя расслоения V корректно определены.
Подход Чженя опирается на дифференциальную геометрию через описанное в этой статье использование кривизны. Чжень показал, что более раннее определение было, фактически, эквивалентно его определению. Получившаяся теория известна как теория Чженя — Вейля[англ.].
Существует также подход Александра Гротендика, показавшего, что аксиоматически достаточно определить только классы линейных расслоений.
Классы Чженя возникают естественным образом в алгебраической геометрии. Обобщённые классы Чженя в алгебраической геометрии можно определить для векторных расслоений (или, более точно, локально свободных пучков) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Чженя не накладывают ограничений на основное поле. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными.
Независимо от исходной парадигмы интуитивное значение класса Чженя касается 'нулей' сечений векторного расслоения. Например, теорема, утверждающая, что нельзя причесать шар с волосами (теорема о причёсывании ежа). Хотя, строго говоря, вопрос относится к вещественному векторному расслоению («волосы» на шаре являются копиями вещественной прямой), существуют обобщения, в которых «волосы» комплексны (см. пример комплексной теоремы о причёсывании ежа ниже), или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.
Класс Чженя линейных расслоений
(Пусть X — топологическое пространство, имеющее гомотопический тип CW-комплекса.)
Важный частный случай возникает, когда V является линейным расслоением[англ.]. Тогда единственный нетривиальный класс Чженя - это первый класс Чженя, который является элементом второй группы когомологий пространства X. Будучи старшим классом Чженя, он равен классу Эйлера[англ.] расслоения.
Первый класс Чженя оказывается полным инвариантом[англ.], по которому классифицируются комплексные линейные расслоения в топологической категории. То есть, существует биекция между классами изоморфных линейных расслоений над X и элементами H2(X;Z), которое связывает с линейным расслоением его первый класс Чженя. Более того, эта биекция является гомоморфизмом групп (то есть изоморфизмом):
- [math]\displaystyle{ c_1(L \otimes L') = c_1(L) + c_1(L') }[/math];
тензорное произведение комплексных линейных расслоений соответствует сложению во второй когомологической группе[2][3].
В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфных) комплексных линейных расслоений по первому классу Чженя является грубой аппроксимацией классификации (классов изоморфных) голоморфных линейных расслоений[англ.] по классам линейно эквивалентных дивизоров.
Для комплексных векторных расслоений с размерностью выше единицы классы Чженя не являются полными инвариантами.
Построения
С помощью теории Чженя — Вейля
Если задано комплексное эрмитово[англ.] векторное расслоение V комплексного ранга n над дифференцируемым многообразием M, представитель каждого класса Чженя (который называется формой Чженя) ck(V) расслоения V задаётся при помощи коэффициентов характеристического многочлена формы кривизны [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] расслоения V.
- [math]\displaystyle{ \det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +E\right) = \sum_k c_k(V) t^k }[/math]
Детерминант берётся над кольцом матриц n × n, элементы которых являются многочленами от t с коэффициентами из коммутативной алгебры чётных комплексных дифференциальных форм на M. Форма кривизны [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] расслоения V определяется выражением
- [math]\displaystyle{ \Omega=d\omega+\tfrac{1}{2}[\omega,\omega] }[/math]
где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — форма связности, а d — внешний дифференциал, или тем же выражением, в котором [math]\displaystyle{ \omega }[/math] является калибровочной формой для калибровочной группы для расслоения V. Скаляр t используется только как неизвестная[англ.] переменная для генерации суммы из определителя, а E означает единичную матрицу размера n × n.
Слова, что данное выражение даёт представителя класса Чженя означают, что 'класс' здесь определён с точностью до точной дифференциальной формы[англ.]. То есть, классы Чженя являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама. Можно показать, что класс когомологий форм Чженя не зависит от выбора связности в V.
Используя матричное тождество tr(ln(X))=ln(det(X)) и ряд Маклорена для ln(X+I), это выражение для формы Чженя разворачивается в
- [math]\displaystyle{ \sum_k c_k(V) t^k = \left[ I + i \frac{\mathrm{tr}(\Omega)}{2\pi} t + \frac{\mathrm{tr}(\Omega^2)-\mathrm{tr}(\Omega)^2}{8\pi^2} t^2 + i \frac{-2\mathrm{tr}(\Omega^3)+3\mathrm{tr}(\Omega^2)\mathrm{tr}(\Omega)-\mathrm{tr}(\Omega)^3}{48\pi^3} t^3 + \cdots \right]. }[/math]
С помощью класса Эйлера
Можно определить класс Чженя в терминах класса Эйлера. Этот подход используется в книге Милнора и Сташефа[4] и подчёркивает роль ориентации векторного расслоения[англ.].
Основное наблюдение заключается в том, что комплексное векторное расслоение[англ.] обладает канонической ориентацией из-за того, что [math]\displaystyle{ GL_n(\mathbb{C}) }[/math] связна. Следовательно, можно определить старший класс Чженя расслоения как его класс Эйлера и работать с остальными классами Чженя по индукции.
Точная конструкция следующая. Идея заключается в изменении базиса для получения расслоения на единицу меньшего ранга. Пусть [math]\displaystyle{ \pi: E \rightarrow B }[/math] является комплексным векторным расслоением над паракомпактным пространством B. Рассматриваем B как вложенное в E нулевое сечение, полагаем [math]\displaystyle{ B' = E - B }[/math] и определяем новое векторное расслоение:
- [math]\displaystyle{ E' \to B', }[/math]
слой которого является фактором слоя F расслоения E по прямой, натянутой на вектор v в F (точка в B' определяется слоем F расслоения E и ненулевым вектором из F.)[5]. Тогда E' имеет ранг на единицу меньше, чем ранг E. Из последовательности Гизина[англ.] для расслоения [math]\displaystyle{ \pi|_{B'}: B' \to B }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \cdots \to \operatorname{H}^k(B; \mathbb{Z}) \overset{\pi|_{B'}^*} \to \operatorname{H}^k(B'; \mathbb{Z}) \to \cdots, }[/math]
мы видим, что [math]\displaystyle{ \pi|_{B'}^* }[/math] является изоморфизмом для k < 2n − 1. Пусть
- [math]\displaystyle{ c_k(E) = \begin{cases} {\pi|_{B'}^*}^{-1} c_k(E'), & k \lt n\\ e(E_{\mathbb{R}}), & k = n \\ 0, & k \gt n. \\ \end{cases} }[/math]
Нужна ещё некоторая работа, чтобы проверить выполнение аксиом классов Чженя для такого определения.
Примеры
Комплексное касательное расслоение сферы Римана
Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathrm{P}^1 }[/math] — сфера Римана, 1-мерное комплексное проективное пространство[англ.]. Предположим, что z является голоморфной локальной координатой на сфере Римана. Пусть [math]\displaystyle{ V=T\mathbb{C}\mathrm{P}^1 }[/math] — пучок комплексных касательных векторов, имеющих вид a∂/∂z в каждой точке, где a является комплексным числом. Мы докажем комплексную версию теоремы о причёсывании ежа: V не имеет не обращающихся в ноль сечений.
Для этого нам нужен следующий факт: первый класс Чженя тривиального расслоения равен нулю, то есть,
- [math]\displaystyle{ c_1({\mathbb C\mathrm P}^1\times {\mathbb C})=0. }[/math]
Это следует из того, что тривиальное расслоение всегда обладает плоской связностью.
Покажем, что
- [math]\displaystyle{ c_1(V) \not= 0. }[/math]
Рассмотрим кэлерову метрику
- [math]\displaystyle{ h = \frac{dzd\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}. }[/math]
Можно показать, что 2-форма кривизны задаётся выражением
- [math]\displaystyle{ \Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}. }[/math]
Кроме того, по определению первого класса Чженя
- [math]\displaystyle{ c_1= \left[\frac{i}{2\pi} \mathrm{tr} \ \Omega\right] . }[/math]
Мы должны показать, что этот класс когомологий ненулевой. Для этого достаточно вычислить интеграл по сфере Римана:
- [math]\displaystyle{ \int c_1 =\frac{i}{\pi}\int \frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=2 }[/math]
после перехода к полярной системе координат. По теореме Стокса интеграл от точной формы[англ.] должен равняться 0, так что класс когомологий ненулевой.
Это доказывает, что [math]\displaystyle{ T\mathbb{C}\mathrm{P}^1 }[/math] не является тривиальным векторным расслоением.
Комплексное проективное пространство
Существует точная последовательность расслоений[6]:
- [math]\displaystyle{ 0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{C}\mathbf{P}^n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{C}\mathbf{P}^n}(1)^{\oplus (n+1)} \to T\mathbb{C}\mathbf{P}^n \to 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_{\mathbb{C}\mathbf{P}^n} }[/math] является структурным пучком (то есть тривиальным линейным расслоением), [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_{\mathbb{C}\mathbf{P}^n}(1) }[/math] является скручивающим пучком Серра (то есть пучком гиперплоскостей[англ.]), а последний ненулевой член является касательным пучком/расслоением.
Имеется два пути получения вышеупомянутой последовательности:
- [7] Пусть z0, … zn — координаты в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{n+1} }[/math], [math]\displaystyle{ \pi: \mathbb{C}^{n+1} - 0 \to \mathbb{C}\mathbf{P}^n }[/math] и [math]\displaystyle{ U = \mathbb{C}\mathbf{P}^n - \{ z_0 = 0\} }[/math]. Тогда мы имеем:
- [math]\displaystyle{ \pi^* d(z_i / z_0) = {z_0 dz_i - z_i d z_0 \over z_0^2}, \, i \ge 1. }[/math]
Другими словами, кокасательный пучок [math]\displaystyle{ \Omega_{\mathbb{C}\mathbf{P}^n}|_U }[/math], который является свободным [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_U }[/math]-модулем с базисом [math]\displaystyle{ d(z_i / z_0) }[/math], включается в точную последовательность
- [math]\displaystyle{ \textstyle \quad 0 \to \Omega_{\mathbb{C}\mathbf{P}^n}|_U \overset{dz_i \mapsto e_i}\to \oplus_1^{n+1} \mathcal{O}(-1)|_U \overset{e_i \mapsto z_i}\to \mathcal{O}_U \to 0, \, i \ge 0, }[/math]
- Пусть L — прямая в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{n+1} }[/math], проходящая через начало координат. Легко видеть, что комплексное касательное пространство к [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathbf{P}^n }[/math] в точке L естественно изоморфно множеству линейных отображений из L в его дополнение.
[8]
Таким образом, касательное расслоение [math]\displaystyle{ T\mathbb{C}\mathbf{P}^n }[/math] может быть отождествлено с расслоением гомоморфизмов
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Hom}(\mathcal{O}(-1), \eta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ T\mathbb{C}\mathbf{P}^n \oplus \mathcal{O} = \operatorname{Hom}(\mathcal{O}(-1), \eta) \oplus \operatorname{Hom}(\mathcal{O}(-1), \mathcal{O}(-1)) = \mathcal{O}(1)^{\oplus(n+1)} }[/math].
Ввиду аддитивности полного класса Чженя c = 1 + c1 + c2 + … (то есть формулы суммы Уитни),
- [math]\displaystyle{ c(\mathbb{C}\mathbf{P}^n) \overset{\mathrm{def}}= c(T\mathbb{C}\mathbf{P}^n) = c(\mathcal{O}_{\mathbb{C}\mathbf{P}^n}(1))^{n+1}= (1+a)^{n+1} }[/math],
где a — канонический генератор группы когомологий [math]\displaystyle{ H^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^n, \mathbb{Z}) }[/math]. То есть взятое со знаком минус значение первого класса Чженя тавтологического линейного расслоения[англ.] [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_{\mathbb{C}\mathbf{P}^n}(-1) }[/math] (замечание: [math]\displaystyle{ c_1(E^*) = -c_1(E) }[/math], когда E* является двойственным для E.) В частности, для любого [math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math],
- [math]\displaystyle{ c_k(\mathbb{C} \mathbf{P}^n) = \binom{n+1}{k} a^k. }[/math]
Многочлен Чженя
Многочлен Чженя является удобным способом работы с классами Чженя и связанными понятиями. По определению, для комплексного векторного расслоения E, многочлен Чженя ct расслоения E задаётся равенством:
- [math]\displaystyle{ c_t(E) =1 + c_1(E) t + \cdots + c_n(E) t^n. }[/math]
Это не новый инвариант — формальная неизвестная t просто отражает степень ck(E)[9]. В частности, [math]\displaystyle{ c_t(E) }[/math] полностью определён полным классом Чженя расслоения E — [math]\displaystyle{ c(E) =1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E) }[/math].
Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Чженя (см. ниже), утверждает, что ct аддитивно в смысле:
- [math]\displaystyle{ c_t(E \oplus E') = c_t(E) c_t(E'). }[/math]
Теперь, если [math]\displaystyle{ E = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n }[/math] является прямой суммой (комплексных) линейных расслоений, то из формулы суммы Уитни следует:
- [math]\displaystyle{ c_t(E) = (1+a_1(E) t) \cdots (1+a_n(E) t) }[/math]
где [math]\displaystyle{ a_i(E) = c_1(L_i) }[/math] — это первые классы Чженя. Корни [math]\displaystyle{ a_i(E) }[/math], называются корнями Чженя расслоения E и они определяют коэффициенты многочлена. То есть,
- [math]\displaystyle{ c_k(E) = \sigma_k(a_1(E), \ldots, a_n(E)) }[/math]
где [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math] — элементарные симметрические многочлены[англ.]. Другими словами, если считать ai формальными переменными, ck «равны» [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math]. Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен от, скажем, ti является многочленом от элементарных симметричных многочленов от ti. Согласно принципу расщепления[англ.] или из теории колец, любой многочлен Чженя [math]\displaystyle{ c_t(E) }[/math] разлагается на линейные множители после увеличения кольца когомологий. Поэтому E не обязательно должно быть прямой суммой линейных расслоений. Вывод
- «Можно вычислить любой симметрический многочлен f от комплексного векторного расслоения E путём записи f в виде многочлена от [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math] с последующей заменой [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math] на [math]\displaystyle{ c_k(E) }[/math].»
Пример: У нас есть многочлены sk
- [math]\displaystyle{ t_1^k + \cdots + t_n^k = s_k(\sigma_1(t_1, \ldots, t_n), \ldots, \sigma_k(t_1, \ldots, t_n)) }[/math]
с [math]\displaystyle{ s_1 = \sigma_1, s_2 = \sigma_1^2 - 2 \sigma_2 }[/math] и так далее (см. Тождества Ньютона). Сумма
- [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(E) = e^{a_1(E)} + \cdots + e^{a_n(E)} = \sum s_k(c_1(E), \ldots, c_n(E)) / k! }[/math]
называется характером Чженя расслоения E, первыми несколькими членами которого являются: (мы опускаем в обозначениях E)
- [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(E) = \operatorname{rk} + c_1 + \frac{1}{2}(c_1^2 - 2c_2) + \frac{1}{6} (c_1^3 - 3c_1c_2 + 3c_3) + \cdots. }[/math]
Пример: Класс Тодда расслоения E задаётся выражением:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{td}(E) &= \prod_1^n {a_i \over 1 - e^{-a_i}} = 1 + {1 \over 2} c_1 + {1 \over 12} (c_1^2 + c_2) + \cdots. \end{align} }[/math]
Замечание: Наблюдение, что класс Чженя является, по существу, элементарным симметрическим многочленом можно использовать для «определения» классов Чженя. Пусть Gn — бесконечный грассманиан[англ.] n-мерных комплексных векторных пространств. Он является классифицирующим пространством[англ.] в том смысле, что если задано комплексное векторное расслоение E ранга n над X, существует непрерывное отображение
- [math]\displaystyle{ f_E: X \to G_n, }[/math]
единственное с точностью до гомотопии. Теорема Бореля[англ.] утверждает, что кольцо когомологий грассманиана Gn — это в точности кольцо симметрических многочленов, которые являются многочленами от элементарных симметричных многочленов [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math]. Таким образом, для прообраза fE
- [math]\displaystyle{ f_E^*: \mathbb{Z}[\sigma_1, \ldots, \sigma_n] \to H^*(X, \mathbb{Z}). }[/math]
Откуда
- [math]\displaystyle{ c_k(E) = f_E^*(\sigma_k). }[/math]
Замечание: Любой характеристический класс является многочленом от классов Чженя по следующим причинам. Пусть [math]\displaystyle{ \operatorname{Vect}_n^{\mathbb{C}} }[/math] является контравариантным функтором, который сопоставляет CW-комплексу X множество классов изоморфных комплексных векторных расслоений ранга n над X. По определению, характеристический класс является естественным преобразованием из [math]\displaystyle{ \operatorname{Vect}_n^{\mathbb{C}} = [-, G_n] }[/math] в функтор когомологий [math]\displaystyle{ H^*(-, \mathbb{Z}). }[/math] Характеристические классы образуют кольцо ввиду кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды утверждает, что кольцо характеристических классов является в точности кольцом когомологий грассманиана Gn:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Nat}([-, G_n], H^*(-, \mathbb{Z})) = H^*(G_n, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\sigma_1, \ldots, \sigma_n]. }[/math]
Свойства классов Чженя
Если дано комплексное[англ.] векторное расслоение E над топологическим пространством X, классы Чженя расслоения E — это последовательность элементов когомологий пространства X. k-ый класс Чженя расслоения E, который обычно обозначается через ck(V), является элементом
- H2k(X;Z),
когомологий пространства X с целыми коэффициентами. Можно также определить полный класс Чженя
- [math]\displaystyle{ c(E) = c_0(E) + c_1(E) + c_2(E) + \cdots . }[/math]
Поскольку значения располагаются в целочисленных группах когомологий, а не в когомологиях с вещественными коэффициентами, эти классы Чженя слегка более чётки, по сравнению с классами в римановом примере.
Классическое аксиоматическое определение
Классы Чженя удовлетворяют следующим четырём аксиомам:
Аксиома 1. [math]\displaystyle{ c_0(E) = 1 }[/math] для всех расслоений E.
Аксиома 2. Естественность: Если [math]\displaystyle{ f : Y \to X }[/math] является непрерывным и f*E является индуцированным векторным расслоением расслоения E, то [math]\displaystyle{ c_k(f^* E) = f^* c_k(E) }[/math].
Аксиома 3. Формула суммы Уитни: Если [math]\displaystyle{ F \to X }[/math] является другим комплексным векторным расслоением, то классы Чженя прямой суммы [math]\displaystyle{ E \oplus F }[/math] задаются выражением
- [math]\displaystyle{ c(E \oplus F) = c(E) \smile c(F); }[/math]
то есть,
- [math]\displaystyle{ c_k(E \oplus F) = \sum_{i = 0}^k c_i(E) \smile c_{k - i}(F). }[/math]
Аксиома 4. Нормализация: Полный класс Чженя тавтологического линейного расслоения[англ.] над CPk равен 1−H, где H двойственен по Пуанкаре гиперплоскости [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathrm{P}^{k - 1} \subseteq \mathbb{C}\mathrm{P}^k }[/math].
Аксиоматический подход Александра Гротендика
Альтернативно, Гротендик[10] заменил эти аксиомы чуть меньшим числом аксиом:
- Естественность: (То же, что и выше)
- Аддитивность: Если [math]\displaystyle{ \ 0\to E'\to E\to E''\to 0 }[/math] является точной последовательностью векторных расслоений, то [math]\displaystyle{ c(E)=c(E')\smile c(E'') }[/math].
- Нормализация: Если E является линейным расслоением[англ.], то [math]\displaystyle{ c(E)=1+e(E_{\mathbf R}) }[/math], где [math]\displaystyle{ e(E_{\mathbf R}) }[/math] — класс Эйлера[англ.] лежащего в основе вещественного векторного расслоения.
Он показал, используя теорему Лере — Хирша[англ.], что полный класс Чженя комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определён в терминах первого класса Чженя тавтологически определённого линейного расслоения.
А именно, введя проективизацию P(E) комплексного векторного расслоения [math]\displaystyle{ E \rightarrow B }[/math] ранга n как расслоение на B, слой которого в произвольной точке [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] является проективным пространством слоя Eb. Тотальное пространство этого расслоения P(E) снабжено его тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначаем [math]\displaystyle{ \tau }[/math], а первый класс Чженя
- [math]\displaystyle{ c_1(\tau)=: -a }[/math]
ограничивается на каждом слое P(Eb) на взятый со знаком минус класс (двойственный по Пуанкаре) гиперплоскости, который порождает когомологии слоя.
Классы
- [math]\displaystyle{ 1, a, a^2, \ldots , a^{n-1}\in H^*(\mathbf{P}(E)) }[/math],
таким образом, образуют семейство классов когомологий, ограничивающихся на базис когомологий слоя. Теорема Лере — Хирша[англ.] утверждает, что любой класс в H*(P(E)) можно записать единственным образом как линейную комбинацию 1, a, a2, …, an−1 с классами на базисе в качестве коэффициентов.
В частности, можно определить классы Чженя расслоения E в смысле Гротендика, которые обозначаются как [math]\displaystyle{ c_1(E), \ldots c_n(E) }[/math] раскладывая класс [math]\displaystyle{ -a^n }[/math] таким образом:
- [math]\displaystyle{ - a^n = c_1(E)\cdot a^{n-1}+ \cdots + c_{n-1}(E) \cdot a + c_n(E) . }[/math]
Можно проверить, что это альтернативное определение совпадает с любым другим определением.
Старший класс Чженя
Фактически, эти свойства однозначно определяют классы Чженя. Из них вытекает, среди прочего:
- Если n является комплексным рангом V, то [math]\displaystyle{ c_k(V) = 0 }[/math] для всех k > n. Таким образом, полный класс Чженя обрывается.
- Старший класс Чженя расслоения V ([math]\displaystyle{ c_n(V) }[/math], где n является рангом V) всегда равен классу Эйлера[англ.] лежащего в основе вещественного векторного расслоения.
Классы Чженя в алгебраической геометрии
Аксиоматическое описание
Существует другое построение классов Чженя, которое принимает значения в алгебро-геометрическом аналоге кольца когомологий, кольце Чжоу[англ.]. Можно показать, что существует единственная теория классов Чженя, такая, что для заданного алгебраического векторного расслоения [math]\displaystyle{ E \to X }[/math] над квазипроективным многообразием существует последовательность классов [math]\displaystyle{ c_i(E) \in A^i(X) }[/math], такая, что
- [math]\displaystyle{ c_0(E) = 1 }[/math]
- Для обратимого пучка [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_X(D) }[/math], [math]\displaystyle{ c_1(\mathcal{O}_X(D)) = [D] }[/math]
- Если дана точная последовательность векторных расслоений [math]\displaystyle{ 0 \to E' \to E \to E'' \to 0, }[/math] выполняется формула суммы Уитни: [math]\displaystyle{ c(E) = c(E')c(E'') }[/math]
- [math]\displaystyle{ c_i(E) = 0 }[/math] для [math]\displaystyle{ i \gt \text{rank}(E) }[/math]
- Отображение [math]\displaystyle{ E \mapsto c(E) }[/math] расширяется до морфизма кольца [math]\displaystyle{ c:K_0(X) \to A^\bullet(X) }[/math]
Абстрактные вычисления с использованием формальных свойств
Прямые суммы линейных расслоений
Используя эти соотношения, мы можем осуществить многочисленные вычисления для векторных расслоений. Во-первых, заметим, что если у нас есть линейные расслоения [math]\displaystyle{ \mathcal{L},\mathcal{L}' }[/math] мы можем образовать короткую точную последовательность векторных расслоений
- [math]\displaystyle{ 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}\oplus\mathcal{L}' \to \mathcal{L}' \to 0 }[/math]
Используя свойства [math]\displaystyle{ 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ 2 }[/math], получаем
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c(\mathcal{L}\oplus\mathcal{L}') &= c(\mathcal{L})c(\mathcal{L}') \\ &= (1+c_1(\mathcal{L}))(1+c_1(\mathcal{L}')) \\ &= 1 + c_1(\mathcal{L}) + c_1(\mathcal{L}') + c_1(\mathcal{L})c_1(\mathcal{L}') \end{align} }[/math]
По индукции получаем
- [math]\displaystyle{ c(\bigoplus^n_{i=1} \mathcal{L}_i) = c(\mathcal{L}_1)\cdots c(\mathcal{L}_n) }[/math]
Раслоения, двойственые линейным расслоениям
Поскольку линейные расслоения на гладком проективном многообразии [math]\displaystyle{ X }[/math] определяются классом дивизоров [math]\displaystyle{ [D] }[/math], а двойственное линейное расслоение определяется отрицательным классом дивизоров [math]\displaystyle{ -[D] }[/math], мы получаем
- [math]\displaystyle{ c_1(\mathcal{L}) = -c_1(\mathcal{L}^*) }[/math]
Касательное расслоение проективного пространства
Вышеизложенное можно применить к последовательности Эйлера для проективного пространства
- [math]\displaystyle{ 0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)^{\oplus (n+1)} \to \mathcal{T}_{\mathbb{P}^n} \to 0 }[/math]
чтобы вычислить
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n})c(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n}) &= c(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)^{\oplus (n+1)}) \\ c(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n})&= (1 + H)^{n+1} \\ &= {n+1 \choose 0}1 + {n+1 \choose 1}H + \cdots + {n+1 \choose n}H^n \end{align} }[/math]
где [math]\displaystyle{ H }[/math] — класс гиперплоскостей степени 1. Заметим также, что [math]\displaystyle{ H^{n+1}=0 }[/math] в кольце Чжоу [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^n }[/math].
Нормальная последовательность
Вычисление характеристических классов для проективного пространства является основой для вычисления характеристических классов многих других пространств, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия [math]\displaystyle{ X \subset \mathbb{P}^n }[/math] существует короткая точная последовательность
- [math]\displaystyle{ 0 \to \mathcal{T}_X \to \mathcal{T}_{\mathbb{P}^n}|_X \to \mathcal{N}_{X/\mathbb{P}^n} \to 0 }[/math]
Трёхмерная квинтика
Например, рассмотрим трёхмерную квинтику в [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^4 }[/math]. Тогда нормальное расслоение задаётся [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_X(5) }[/math] и мы имеем короткую точную последовательность
- [math]\displaystyle{ 0 \to \mathcal{T}_X \to \mathcal{T}_{\mathbb{P}^4}|_X \to \mathcal{O}_X(5) \to 0 }[/math]
Пусть [math]\displaystyle{ h }[/math] означает класс гиперплоскостей в [math]\displaystyle{ A^\bullet(X) }[/math]. Тогда формула суммы Уитни даёт нам
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c(\mathcal{T}_X)c(\mathcal{O}_X(5)) &= (1+h)^5 \\ &= 1 + 5h + 10h^2 + 10h^3 \end{align} }[/math]
Поскольку кольцо Чжоу гиперповерхности трудно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^4 }[/math]. Это даёт нам
- [math]\displaystyle{ c(\mathcal{T}_X) = \frac{1 + 5h + 10h^2 + 10h^3}{1 + 5h} }[/math]
Заметим, что имеет место формальный степенной ряд
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{1 + 5h} &= 1 - 5h + 25h^2 - 125h^3 + \cdots \\ &= 1 - 5h + 25h^2 - 125h^3 \end{align} }[/math]
Используя это, мы можем получить
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c(\mathcal{T}_X) &= (1 + 5h + 10h^2 + 10h^3)(1 - 5h + 25h^2 - 125h^3) \\ &= 1 + 10h^2 - 40h^3 \end{align} }[/math]
Используя теорему Гаусса — Бонне, мы можем проинтегрировать класс [math]\displaystyle{ c_3(\mathcal{T}_X) }[/math] для вычисления эйлеровой характеристики. Традиционно это называется классом Эйлера[англ.]. Имеем
- [math]\displaystyle{ \int_{[X]} c_3(\mathcal{T}_X) = \int_{[X]} -40h^3 = -200 }[/math]
поскольку класс [math]\displaystyle{ h^3 }[/math] может быть представлен пятью точками (по теореме Безу. Эйлерова характеристика может быть тогда использована для вычисления чисел Бетти [math]\displaystyle{ X }[/math] путём использования определения эйлеровой характеристики и теоремы Лефшеца о гиперплоских сечениях[англ.].
Кокасательная последовательность
Другое полезное вычисление — кокасательное расслоение для проективного пространства. Мы можем дуализировать эйлерову последовательность и получить
- [math]\displaystyle{ 0 \to \Omega_{\mathbb{P}^n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus n+1} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \to 0 }[/math]
Используя формулу суммы Уитни мы получаем
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c(\Omega_{\mathbb{P}^n}) &= c(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}^{\oplus (n+1)})c(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}) \\ &= (1-H)^{n+1} \\ &= 1 - {n+1 \choose 1}H + {n+1 \choose 2}H^2 + \cdots + {n+1 \choose n}(-1)^nH^n \end{align} }[/math]
Близкие понятия
Характер Чженя
Классы Чженя можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в пополнение его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Чженя определяется выражением
- [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(L) = \exp(c_1(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}. }[/math]
Более общо, если [math]\displaystyle{ V = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n }[/math] является прямой суммой линейных расслоений с первыми классами Чженя [math]\displaystyle{ x_i = c_1(L_i), }[/math] характер Чженя определяется аддитивно
- [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(V) = e^{x_1} + \cdots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + \cdots + x_n^m). }[/math]
Это можно переписать следующим образом[11]:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(V) = \operatorname{rk}(V) + c_1(V) + \frac{1}{2}(c_1(V)^2 - 2c_2(V)) + \frac{1}{6} (c_1(V)^3 - 3c_1(V)c_2(V) + 3c_3(V)) + \cdots. }[/math]
Это последнее выражение, подкреплённое принципом расщепления[англ.], используется как определение ch(V) для произвольных векторных расслоений V.
Если для определения классов Чженя используется связность в случае, когда базой является многообразие (то есть теория Чженя — Вейля[англ.]), явным выражением для характера Чженя является
- [math]\displaystyle{ \hbox{ch}(V)=\left[\hbox{tr}\left(\exp\left(\frac{i\Omega}{2\pi}\right)\right)\right] }[/math]
где [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] – кривизна связности.
Характер Чженя полезен в том числе тем, что он позволяет вычислить класс Чженя тензорного произведения. Точнее говоря, он удовлетворяет следующим равенствам:
- [math]\displaystyle{ \hbox{ch}(V\oplus W)=\hbox{ch}(V)+\hbox{ch}(W) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hbox{ch}(V\otimes W)=\hbox{ch}(V)\hbox{ch}(W). }[/math]
Как утверждалось выше, используя аксиому аддитивности Гротендика для классов Чженя, первое из этих тождеств можно обобщить до утверждения, что ch является гомоморфизмом абелевых групп из K-теории K(X) в рациональные когомологии пространства X. Второе тождество устанавливает факт, что этот гомоморфизм сохраняет произведение в K(X), а потому ch является гомоморфизмом колец.
Характер Чженя используется в теореме Хирцебруха — Римана — Роха[англ.].
Числа Чженя
Если мы работаем с ориентированным многообразием размерности 2n, то любое произведение классов Чженя полной степени 2n может быть спарено с фундаментальным классом (или «интегрировано по многообразию»), давая целое число, число Чженя векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существует три линейно независимых числа Чженя, задаваемых значениями c13, c1c2 и c3. В общем случае, если многообразие имеет размерность 2n, число независимых чисел Чженя равно числу разбиений числа n.
Числа Чженя касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Чженя многообразия и являются важными инвариантами.
Класс Чженя в обобщённых теориях когомологий
Существует обобщение теории классов Чженя, где обычные когомологии заменяются на обобщённые. Теории, для которых такое обобщение возможно, называются комплексно ориентируемыми[англ.]. Формальные свойства классов Чженя остаются теми же с одной критической разницей — правило вычисления первого класса Чженя тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Чженя разложения не является (обычным) сложением, а задаётся законом формальной группы[англ.].
Класс Чженя в алгебраической геометрии
В алгебраической геометрии существует похожая теория классов Чженя векторных расслоений. Существует несколько вариаций, в зависимости от того, в каких группах классы Чженя лежат:
- Для комплексных многообразий классы Чженя могут принимать значения в обычных когомологиях (как выше).
- Для многообразий над полями общего вида классы Чженя могут принимать значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии[англ.] или l-адические когомологии[англ.].
- Для многообразий V над полями общего вида классы Чженя могут принимать также значения в гомоморфизмах групп Чжоу[англ.] CH(V). Например, первый класс Чженя линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH(V) в CH(V), уменьшающий степень на 1. Это соответствует факту, что группы Чжоу являются аналогом групп гомологий и элементы групп когомологий можно считать гомоморфизмами групп гомологий путём произведения Уитни[англ.].
Классы Чженя многообразий со структурой
Теория классов Чженя является источником инвариантов кобордизмов для почти комплексных структур.
Если M — почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение является комплексным векторным расслоением. Классы Чженя многообразия M тогда определяются как классы Чженя его касательного расслоения. Если M является также компактным и имеет размерность 2d, то каждый одночлен полной степени 2d в классах Чженя может быть спарен с фундаментальным классом многообразия M, давая целое число, число Чженя многообразия M. Если M′ является другим почти комплексным многообразием той же размерности, то оно бордантно M тогда и только тогда, когда число Чженя многообразия M′ совпадает с числом Чженя многообразия M.
Теория также обобщается на вещественные симплектические векторные расслоения путём использования совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют однозначно определённый класс Чженя.
Классы Чженя на арифметических схемах и диофантовых уравнениях
(См. Геометрии Аракелова[англ.])
См. также
- Класс Понтрягина
- Класс Штифеля — Уитни
- Теория Чженя — Саймонса
- Класс Эйлера[англ.]
- Класс Сегре[англ.]
- Изоморфизм Тома[англ.]
Примечания
- ↑ Chern, 1946.
- ↑ Tu, Loring, 1995, с. 267ff.
- ↑ Hatcher, 2003.
- ↑ Milnor, Stasheff, 1974.
- ↑ Замечание: Обозначение здесь отличается от обозначений Милнора − Сташефа, но более естественно.
- ↑ Эта последовательность иногда называется точной последовательностью Эйлера.
- ↑ Harshorne, 1977, с. 176, Ch. II. Theorem 8.13..
- ↑ Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{C}_0 = \mathbb{C} \smallsetminus \{0\} }[/math] — группа комплексных чисел, которая действует в n-мерном пространстве без начала координат [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n \smallsetminus \{0\} }[/math] умножением. Тогда [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{n + 1} \stackrel{\pi}{\rightarrow} \mathbb{C}\mathrm{P}^n }[/math] — главное расслоение со структурной группой [math]\displaystyle{ \mathbb{C}_0 }[/math], базой которого является комплексное проективное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathrm{P}^n = (\mathbb{C}^{n + 1} \smallsetminus \{0\})/\mathbb{C}_0 }[/math]. Прямая L в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{n + 1} }[/math] (проходящая через начало координат) будет точкой в пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathrm{P}^n }[/math]. Катанаев, 2016, 472
- ↑ В теоретических терминах колец, существует изоморфизм градуированных колец:
- [math]\displaystyle{ H^{2*}(M, \mathbb{Z}) \to \oplus_k^\infty \eta(H^{2*}(M, \mathbb{Z})) [t], x \mapsto x t^{|x|/2} }[/math]
- ↑ Grothendieck, 1958.
- ↑ (См. также #Многочлен Чженя.) Заметим, что если V является суммой линейных расслоений, классы Чженя V можно выразить как элементарные симметричные многочлены[англ.] от [math]\displaystyle{ x_i }[/math], [math]\displaystyle{ c_i(V) = e_i(x_1,\ldots,x_n). }[/math]
В частности, с одной стороны,
- [math]\displaystyle{ c(V) := \sum_{i=0}^n c_i(V), }[/math]
- [math]\displaystyle{ c(V) = c(L_1 \oplus \cdots \oplus L_n) = \prod_{i=1}^n c(L_i) = \prod_{i=1}^n (1+x_i) = \sum_{i=0}^n e_i(x_1,\ldots,x_n). }[/math]
Литература
- Chern S. S. Characteristic classes of Hermitian Manifolds // Annals of Mathematics. — The Annals of Mathematics, 1946. — Т. 47, вып. 1. — С. 85–121. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1969037. — .
- Alexander Grothendieck. La théorie des classes de Chern // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1958. — Т. 86. — С. 137–154. — ISSN 0037-9484.
- Jürgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — 4th. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-3-540-25907-7. (Приведен очень короткий вводный обзор классов Чженя).
- May J.P. A Concise Course in Algebraic Topology. — University of Chicago Press, 1999. — ISBN 978-0226511832.
- John Willard Milnor, James D. Stasheff. Characteristic classes. — Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1974. — Т. 76. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 978-0-691-08122-9.
- Elena Rubei. Algebraic Geometry, a concise dictionary. — Berlin/Boston: Walter De Gruyter, 2014. — ISBN 978-3-11-031622-3.
- Raoul Bott Tu, Loring W. Differential forms in algebraic topology. — Corr. 3. print.. — New York [u.a.]: Springer, 1995. — С. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4.
- Harshorne R. Algebraic geometry. — Springer-Verlag, 1977. — Т. 52. — (Graduate Texts in Math.). — ISBN 0-387-90244-9. — ISBN 3-540-90244-9.
- Катанаев Михаил Орионович. Геометрические методы в математической физике. — Третья, дополненная версия расширенного варианта курса лекций. — 2016. — (Курс лекций 2008-2016 годов в научно-образовательном центре при МИАН им. В.А. Стеклова.).
- Allen Hatcher. Proposition 3.10 // Vector Bundles and K-theory. — 2003.
Ссылки
- Dieter Kotschick, Chern numbers of algebraic varieties Архивная копия от 6 июня 2011 на Wayback Machine