Кэлерово многообразие

Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.

Названы в честь немецкого математика Эриха Келера.

Определения

Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие [math]\displaystyle{ (K,\omega) }[/math] с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой эрмитово многообразие с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.

Связь между определениями

Пусть [math]\displaystyle{ h }[/math] — эрмитова форма, [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — симплектическая форма и [math]\displaystyle{ J }[/math] — почти комплексная структура. Согласуемость [math]\displaystyle{ \omega }[/math] и [math]\displaystyle{ J }[/math] означает, что форма:

[math]\displaystyle{ g(u,v) = \omega(u,Jv) }[/math]

является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:

[math]\displaystyle{ h=g - i\omega. }[/math]

Кэлеров потенциал

На комплексном многообразии [math]\displaystyle{ K }[/math] каждая строго плюригармоническая функция [math]\displaystyle{ \rho \in C^\infty(K; \mathbb R) }[/math] порождает кэлерову форму

[math]\displaystyle{ \omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho. }[/math]

При этом функция [math]\displaystyle{ \rho }[/math] называется кэлеровым потенциалом формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math].

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки [math]\displaystyle{ p }[/math] кэлерова многообразия [math]\displaystyle{ (K,\omega) }[/math] существует окрестность [math]\displaystyle{ U\ni p }[/math] и функция [math]\displaystyle{ \rho \in C^\infty(U,\mathbb R) }[/math] такая, что

[math]\displaystyle{ \omega\vert_U = i \partial \bar\partial \rho }[/math].

При этом [math]\displaystyle{ \rho }[/math] называется локальным Кэлеровым потенциалом формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math].

Примеры

• Комплексное евклидово пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] со стандартной эрмитовой формой.
• Каждая риманова метрика на ориентируемой поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость [math]\displaystyle{ \omega }[/math] тривиальна в вещественной размерности два.
• Комплексное проективное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathrm{P}^n }[/math] с метрикой Фубини — Штуди.
• Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии.
  • В частности, любое многообразие Штейна и любое проективное алгебраическое многообразие.
  • По теореме Кодайры о вложении кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая, вкладывается в проективное пространство.
• K3-поверхности
• Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу.

См. также

• Почти комплексного многообразия

Литература

• P. Deligne, Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Real homotopy theory of Kähler manifolds // Invent. Math. — 1975. — Т. 29. — С. 245–274. — doi:10.1007/BF01389853.
• E. Kähler. Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1933. — Т. 9. — С. 173–186. — doi:10.1007/BF02940642.
• R. Hartshorne. Algebraic Geometry. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0-387-90244-9.
• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
• A. Moroianu. Lectures on Kähler geometry. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 69. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0.
• A. Weil. Introduction à l'étude des variétés kählériennes. — 1958.