Точная последовательность Эйлера

Точная последовательность Эйлера — это определённая точная последовательность пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Она показывает, что кокасательное расслоение проективного пространства стабильно изоморфно (n + 1)-кратной сумме тавтологических расслоений [math]\displaystyle{ \mathcal O(-1) }[/math] (см. скручивающий пучок Серра).

Формулировка

Для коммутативного кольца A существует точная последовательность пучков

[math]\displaystyle{ 0 \to \Omega^1_{\mathbb P^n_A/A} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_A}(-1)^{\oplus n+1} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_A} \to 0. }[/math]

Для доказательства достаточно определить гомоморфизм [math]\displaystyle{ S(-1)^{\oplus n+1} \to S, e_i \mapsto x_i }[/math], где [math]\displaystyle{ S = A[x_0,\ldots,x_n] }[/math] и [math]\displaystyle{ e_i = 1 }[/math] в степени 1, сюръективный в степенях [math]\displaystyle{ \geq 1 }[/math] и проверить, что локально на (n + 1)-й стандартных аффинных картах его ядро изоморфно модулю относительных дифференциалов.

Геометрическая интерпретация

Мы предполагаем, что кольцо A является полем k.

Точная последовательность выше эквивалентна последовательности

[math]\displaystyle{ 0 \to \mathcal O_{\mathbb P^{n}} \to \mathcal O (1)^{\oplus (n+1)} \to \mathcal T_{\mathbb P^n} \to 0 }[/math],

где последний ненулевой член — это касательный пучок.

Рассмотрим V — (n + 1)-мерное векторное пространство над k и объясним точную последовательность

[math]\displaystyle{ 0\to \mathcal O_{\mathbb P(V)} \to \mathcal O_{\mathbb P (V)}(1)\otimes V \to \mathcal T_{\mathbb P (V)} \to 0 }[/math]

Эту последовательность легче всего понимать, интерпретируя средний член как пучок 1-однородных векторных полей на векторном пространстве V. Существует замечательное сечение этого пучка — эйлерово векторное поле — тавтологически определяемое путём сопоставления точке векторного пространства соответствующего этой точке вектора, перенесённого в касательное пространство в этой точке.

Это векторное поле радиально в том смысле, что оно зануляется на 0-однородных функциях, то есть функциях, инвариантных относительно гомотетии с центром в нуле.

Функция (определённая на некотором открытом множестве) на [math]\displaystyle{ \mathbb P (V) }[/math] индуцирует 0-однородную функцию на V (вновь частично определённую). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая эйлерово векторное поле на такие функции. Это определяет первое отображение.

Второе отображение связано с понятием дифференцирований, эквивалентным понятию векторных полей. Напомним, что векторное поле на открытом подмножестве U проективного пространства [math]\displaystyle{ \mathbb P(V) }[/math] может быть определено как дифференцирование функций, определённых на этом открытом множестве. Рассматривая прообраз в V, это эквивалентно дифференцированию на прообразе U, сохраняющему 0-однородные функции. Любое векторное поле на [math]\displaystyle{ \mathbb P(V) }[/math] может быть получено таким образом, и ядро полученного отображения состоит в точности из радиальных векторных полей.

Каноническое линейное расслоение проективного пространства

Переходя к старшим внешним степеням, находим, что канонический пучок проективного пространства имеет вид

[math]\displaystyle{ \omega_{\mathbb{P}^n_A/A} \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_A}(-(n+1)) }[/math].

В частности, проективные пространства являются многообразиями Фано, так как каноническое линейное расслоение анти-обильно.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.