Связность (дифференциальная геометрия)

Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.

Точнее: Пусть дано гладкое расслоение [math]\displaystyle{ \pi:E\to B }[/math], связность есть подрасслоение [math]\displaystyle{ R }[/math] касательного расслоения [math]\displaystyle{ TE }[/math] над [math]\displaystyle{ E }[/math], такое что для каждой точки [math]\displaystyle{ x\in E }[/math] проекция

[math]\displaystyle{ d_x\pi(R_x)=T_{\pi(x)}B }[/math]

здесь [math]\displaystyle{ d_x\pi }[/math] обозначает дифференциал [math]\displaystyle{ \pi }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math].

Связность позволяет дифференцировать сечения расслоения по направлению.

Связность позволяет определить параллельное сечение вдоль кривой в базе расслоения. В частности связность позволяет построить каноническую тривиализацию расслоения над кривой (не имеющей самопересечений), однако построить для расслоения над многообразием каноническую тривиализацию в некоторой окрестности возможно тогда и только тогда, когда там равен нулю тензор кривизны заданной связности. На физическом языке в терминах пространства-времени это говорит, что можно ввести локально лоренцеву систему отсчёта вдоль произвольной несамопересекающейся кривой, но невозможно в окрестности точки, если тензор кривизны этой окрестности отличен от нуля.

Название связность происходит от того, что посредством неё связываются касательные пространства в разных точках многообразия. Именно связность организовывает структуру касательного расслоения. Проще говоря, связность позволяет переносить геометрические объекты из одной точки многообразия в другую и необходима для сравнения объектов в разных точках многообразия.

Типы связностей

• Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.

• Связность Леви-Чивиты — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math], относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.