Теория гомологий

Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае топологическому пространству [math]\displaystyle{ X }[/math] сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий [math]\displaystyle{ H_k(X) }[/math], занумерованных натуральными числами [math]\displaystyle{ k }[/math]. Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации.

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию, и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии [math]\displaystyle{ H_k(X, A) }[/math] с коэффициентами в абелевой группе [math]\displaystyle{ A }[/math], относительные гомологии [math]\displaystyle{ H_k(X, Y) }[/math] пары пространств [math]\displaystyle{ X \supset Y }[/math] и когомологии [math]\displaystyle{ H^k(X) }[/math], определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения [math]\displaystyle{ H^k(X) \otimes H^l(X) \to H^{k+l}(X) }[/math], превращающего их в градуированную алгебру.

Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.

Общее определение

Напомним, что [math]\displaystyle{ k }[/math]-тая гомотопическая группа [math]\displaystyle{ \pi_k(X) }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] — это множество отображений из [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерной сферы в [math]\displaystyle{ X }[/math], рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий [math]\displaystyle{ H_k(X) }[/math] отображения сфер заменяют на [math]\displaystyle{ k }[/math]-циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности [math]\displaystyle{ k }[/math] внутри [math]\displaystyle{ X }[/math], но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа [math]\displaystyle{ k }[/math]-циклов — [math]\displaystyle{ Z_k(X) }[/math] (от нем. Zyklus — «цикл»), группа [math]\displaystyle{ k }[/math]-границ — [math]\displaystyle{ B_k(X) }[/math] (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как

[math]\displaystyle{ H_k(X) = Z_k(X) / B_k(X) }[/math].

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности [math]\displaystyle{ k \gt 2 }[/math] приводит к некоторым трудностям. Решением является определение промежуточного понятия группы [math]\displaystyle{ k }[/math]-цепей [math]\displaystyle{ C_k(X) }[/math], состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в [math]\displaystyle{ X }[/math] неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы [math]\displaystyle{ \partial_k: C_k(X) \to C_{k-1}(X) }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ k }[/math]-циклы определяются как [math]\displaystyle{ k }[/math]-цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:

[math]\displaystyle{ Z_k(X) = Ker(\partial_k: C_k(X) \to C_{k-1}(X)), ~~~~ B_k(X) = Im(\partial_{k+1}: C_{k+1}(X) \to C_k(X)) }[/math].

Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: [math]\displaystyle{ \partial_{k+1} \circ \partial_k=0 }[/math], а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

Гомологические теории

• Симплициальные гомологии — гомологии определяются для очень простых пространств (симплициальных комплексов).

Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

• Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.

• Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группах

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. То есть, вместо групп [math]\displaystyle{ C_k(X) }[/math] рассматривать группы [math]\displaystyle{ C_k(X) \otimes G }[/math].

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] с коэффициентами в группе [math]\displaystyle{ G }[/math] обозначаются [math]\displaystyle{ H_k(X;G). }[/math] Обычно применяют группу действительных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], или циклическую группу вычетов по модулю [math]\displaystyle{ m }[/math] — [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_m }[/math], причём обычно берётся [math]\displaystyle{ m=p }[/math] — простое число, тогда [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу [math]\displaystyle{ C_{*}(X) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots \xleftarrow{}C_{n-1}(X)\xleftarrow{}C_{n}(X)\xleftarrow{}C_{n+1}(X)\xleftarrow{}\ldots }[/math]

функтор [math]\displaystyle{ \cdot \otimes G }[/math], мы получим комплекс

[math]\displaystyle{ \ldots \xleftarrow{}C_{n-1}(X)\otimes G\xleftarrow{}C_{n}(X)\otimes G\xleftarrow{}C_{n+1}(X)\otimes G\xleftarrow{}\ldots }[/math],

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в [math]\displaystyle{ G }[/math].

Когомологии

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу [math]\displaystyle{ G }[/math]. То есть, пространство коцепей [math]\displaystyle{ C^k(X)=\operatorname{Hom}(C_k(X),G) }[/math].

Граничный оператор [math]\displaystyle{ \delta^k:C^k\to C^{k+1} }[/math] определяется по формуле: [math]\displaystyle{ (\delta^k x)(c)=x(d_{k+1}c) }[/math] (где [math]\displaystyle{ x\in C^k,\; c\in C_{k+1} }[/math]). Для такого граничного оператора также выполняется

[math]\displaystyle{ \delta^{k+1}\delta^k=0 }[/math], а именно

[math]\displaystyle{ (\delta^{k+1}\delta^k(x))(c)=\delta^k x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0 }[/math].

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов [math]\displaystyle{ Z^k(X,G)=\operatorname{Ker} \delta^k }[/math], кограниц [math]\displaystyle{ B^k(X,G)=\operatorname{Im} \delta^{k-1} }[/math] и когомологий [math]\displaystyle{ H^k(X,G)=Z^k(X,G)/B^k(X,G) }[/math].

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если [math]\displaystyle{ G }[/math] — кольцо, то в группе когомологий [math]\displaystyle{ H^*(X,G) }[/math] определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или [math]\displaystyle{ \cup }[/math]-произведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда [math]\displaystyle{ X }[/math] — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий [math]\displaystyle{ H^*(X,\mathbb{R}) }[/math] может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на [math]\displaystyle{ X }[/math] (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность

Возьмём случай двух топологических пространств [math]\displaystyle{ Y\sub X }[/math]. Группа цепей [math]\displaystyle{ C_k(Y)\sub C_k(X) }[/math] (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе [math]\displaystyle{ G }[/math]). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы [math]\displaystyle{ C_k(X,Y)=C_k(X)/C_k(Y) }[/math]. Так как граничный оператор [math]\displaystyle{ d }[/math] на группе гомологий подпространства [math]\displaystyle{ Y }[/math] переводит [math]\displaystyle{ d_k\colon C_k(Y)\to C_{k-1}(Y) }[/math], то можно определить на факторгруппе [math]\displaystyle{ C_k(X,Y) }[/math] граничный оператор (мы его обозначим так же) [math]\displaystyle{ d_k\colon C_k(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y) }[/math].

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в [math]\displaystyle{ 0 }[/math] будут называться относительными циклами [math]\displaystyle{ Z_k(X,Y) }[/math], а цепи, которые являются его значениями — относительными границами [math]\displaystyle{ B_k(X,Y) }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ dd=0 }[/math] на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда [math]\displaystyle{ B_k(X,Y)\sub Z_k(X,Y) }[/math]. Факторгруппа [math]\displaystyle{ H_k(X,Y)=Z_k(X,Y)/B_k(X,Y) }[/math] называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в [math]\displaystyle{ H_k(X) }[/math] является также и относительным то имеем гомоморфизм [math]\displaystyle{ j_k:H_k(X)\to H_k(X,Y) }[/math] По функториальному свойству вложение [math]\displaystyle{ i_k:Y\to X }[/math] приводит к гомоморфизму [math]\displaystyle{ i_*:H_k(Y)\to H_k(X) }[/math].

В свою очередь можно построить гомоморфизм [math]\displaystyle{ d_{* k}:H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y) }[/math], который мы определим следующим образом. Пусть [math]\displaystyle{ c_k\in C_k(X,Y) }[/math] — относительная цепь, которая определяет цикл из [math]\displaystyle{ H_k(X,Y) }[/math]. Рассмотрим её как абсолютную цепь в [math]\displaystyle{ C_k(X) }[/math] (с точностью до элементов [math]\displaystyle{ C_k(Y) }[/math]). Так как это относительный цикл, то [math]\displaystyle{ d_k c }[/math] будет равен нулю с точностью до некоторой цепи [math]\displaystyle{ c_{k-1}\in C_{k-1}(Y) }[/math]. Положим [math]\displaystyle{ d_{* k} }[/math] равным классу гомологий цепи [math]\displaystyle{ c_{k-1}=d_k c \in Z_{k-1}(Y) }[/math].

Если мы возьмём другую абсолютную цепь [math]\displaystyle{ c'_k\in C_k(X) }[/math], определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь [math]\displaystyle{ c=c'+u }[/math], где [math]\displaystyle{ u\in C_k(Y) }[/math]. Имеем [math]\displaystyle{ d_k c=d_k c'+d_k u }[/math], но так как [math]\displaystyle{ d_k u }[/math] является границей в [math]\displaystyle{ Z_{k-1}(Y) }[/math] то [math]\displaystyle{ d_k c }[/math] и [math]\displaystyle{ d_k c' }[/math] определяют один и тот же элемент в группе гомологий [math]\displaystyle{ H_{k-1}(Y) }[/math]. Если взять другой относительный цикл [math]\displaystyle{ c'' }[/math], дающий тот же элемент в группе относительных гомологий [math]\displaystyle{ c=c''+b }[/math], где [math]\displaystyle{ b }[/math] — относительная граница, то в силу того, что [math]\displaystyle{ b }[/math] граница для относительных гомологий [math]\displaystyle{ b=d_{k+1}x+v }[/math], где [math]\displaystyle{ v\in C_k(Y) }[/math] , отсюда [math]\displaystyle{ d_k c=d_k c''+d_k d_{k+1}x+d_k v }[/math], но [math]\displaystyle{ dd=0 }[/math], а [math]\displaystyle{ d_k v }[/math] — граница в [math]\displaystyle{ Z_{k-1}(Y) }[/math].

Поэтому класс гомологий [math]\displaystyle{ d_{* k}c_k }[/math] определен однозначно. Ясно по линейности оператора [math]\displaystyle{ d_{* k} }[/math], что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

[math]\displaystyle{ i_{* k}\colon H_k(Y)\to H_k(X) }[/math];

[math]\displaystyle{ j_{* k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y) }[/math] и

[math]\displaystyle{ d_{* k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y) }[/math];

[math]\displaystyle{ ...\to H_k(Y)\to H_k(X)\to H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to... }[/math]

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар [math]\displaystyle{ D }[/math] топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Если [math]\displaystyle{ (X,Y)\in D, }[/math] то [math]\displaystyle{ (X,X)\in D, }[/math] [math]\displaystyle{ (X,\varnothing)\in D, }[/math] [math]\displaystyle{ (Y,Y)\in D }[/math] и [math]\displaystyle{ (Y,\varnothing)\in D }[/math].
2. Если [math]\displaystyle{ (X,Y)\in D }[/math], то и [math]\displaystyle{ (X\times I,Y\times I)\in D }[/math], где [math]\displaystyle{ I }[/math] — замкнутый интервал [0,1].
3. [math]\displaystyle{ (*,\varnothing)\in D }[/math], где [math]\displaystyle{ * }[/math] — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа [math]\displaystyle{ H_k(X,Y) }[/math] и непрерывному отображению пар [math]\displaystyle{ f\colon (X,Y)\to(X',Y') }[/math] соответствует гомоморфизм [math]\displaystyle{ f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y') }[/math] (Пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] отождествляется с парой [math]\displaystyle{ (X,\varnothing) }[/math]), а [math]\displaystyle{ H_k(X) }[/math] с [math]\displaystyle{ H_k(X,\varnothing) }[/math]), причём выполняются следующие аксиомы:

1. Тождественному отображению пары [math]\displaystyle{ id }[/math] соответствует тождественный гомоморфизм [math]\displaystyle{ id_{*k} }[/math].
2. [math]\displaystyle{ (gf)_{*k} = g_{*k}f_{*k} }[/math] (функториальность)
3. Определен граничный гомоморфизм [math]\displaystyle{ d_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y) }[/math], причём если [math]\displaystyle{ f\colon (X,Y)\to(X',Y') }[/math], то для соответствующего гомоморфизма [math]\displaystyle{ f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y') }[/math] верно [math]\displaystyle{ d_{*k}f_{*k} = f_{*k-1}d_{*k} }[/math] для любой размерности [math]\displaystyle{ k }[/math].
4. Пусть [math]\displaystyle{ i\colon Y\to X }[/math] и [math]\displaystyle{ j\colon X\to (X,Y) }[/math] — вложения, [math]\displaystyle{ i_{*k}\colon H_k(Y)\to H_k(X) }[/math] и [math]\displaystyle{ j_{*k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y) }[/math] — соответствующие гомоморфизмы, [math]\displaystyle{ d_{*k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y) }[/math] — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
   [math]\displaystyle{ \ldots \to H_k(Y) \to H_k(X) \to H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y) \to \ldots }[/math]
   точна (аксиома точности).
5. Если отображения [math]\displaystyle{ f,g\colon (X,Y)\to(X',Y') }[/math] гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны [math]\displaystyle{ f_{*k}=g_{*k} }[/math] для любой размерности [math]\displaystyle{ k }[/math] (аксиома гомотопической инвариантности).
6. Пусть [math]\displaystyle{ U\sub X }[/math] — открытое подмножество [math]\displaystyle{ X }[/math], причём его замыкание содержится во внутренности множества [math]\displaystyle{ Y }[/math], тогда если пары [math]\displaystyle{ (X\setminus U, Y\setminus U) }[/math] и [math]\displaystyle{ (X,Y) }[/math] принадлежат допустимому классу, то для любой размерности [math]\displaystyle{ k }[/math] вложению [math]\displaystyle{ (X\setminus U, Y\setminus U) \hookrightarrow (X,Y) }[/math] соответствует изоморфизм [math]\displaystyle{ H_k(X\setminus U, Y\setminus U) \simeq H_k(X,Y) }[/math] (аксиома вырезания).
7. Для одноточечного пространства [math]\displaystyle{ H_k(*)=0 }[/math] для всех размерностей [math]\displaystyle{ k \gt 0 }[/math]. Абелева группа [math]\displaystyle{ G=H_0(*) }[/math] называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе [math]\displaystyle{ G }[/math] их отображения и граничный гомоморфизм [math]\displaystyle{ d_* }[/math] удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению [math]\displaystyle{ f\colon (X,Y)\to(X',Y') }[/math] соответствует [math]\displaystyle{ f^{*k}\colon H^k(X',Y') \to H^k(X,Y) }[/math] (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм [math]\displaystyle{ \delta^{*k}\colon H^{k-1}(Y) \to H^k(X,Y) }[/math] увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологии

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей [math]\displaystyle{ k \gt 0 }[/math], называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

См. также

• Гомологическая алгебра
• Гомотопия
• Фундаментальный класс
• Гомотопические группы

Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297.
• Hatcher A. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400.