Двойственность Пуанкаре

В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :

[math]\displaystyle{ H^k(M) \cong H_{n-k}(M). }[/math]

История

Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (n − k)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:

[math]\displaystyle{ b_k(M)=b_{n-k}(M). }[/math]

Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций.

Современная формулировка

Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, k — целое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий [math]\displaystyle{ H^k(M) }[/math] в (n − k)-ю группу гомологий [math]\displaystyle{ H_{n-k}(M) }[/math]:

[math]\displaystyle{ D:H^k(M)\to H_{n-k}(M) }[/math].

Этот изоморфизм определяется фундаментальным классом многообразия [math]\displaystyle{ [M] }[/math]:

[math]\displaystyle{ D(\alpha)=[M]\frown\alpha }[/math],

где [math]\displaystyle{ \alpha\in H^k(M) }[/math] — коцикл, [math]\displaystyle{ \frown }[/math] обозначает [math]\displaystyle{ \frown }[/math]-умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.

Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.

Для [math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math] группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при [math]\displaystyle{ k\gt n }[/math] на n-мерном многообразии являются нулевыми.

Билинейное спаривание

Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через [math]\displaystyle{ \tau H_k (M) }[/math] кручение группы [math]\displaystyle{ H_k (M) }[/math], и [math]\displaystyle{ fH_k (M) = H_k (M) / \tau H_k (M) }[/math] её свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:

[math]\displaystyle{ fH_k (M) \otimes fH_{n-k} (M) \to \mathbb Z }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \tau H_k (M) \otimes \tau H_{n-k-1} (M) \to \mathbb Q / \mathbb Z. }[/math]

(Здесь [math]\displaystyle{ \mathbb Q / \mathbb Z }[/math] — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)

Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп [math]\displaystyle{ H_k(M) }[/math] и [math]\displaystyle{ H_{n-k}(M) }[/math], коэффициент зацепления — между кручениями групп [math]\displaystyle{ H_k (M) }[/math] и [math]\displaystyle{ H_{n-k-1} (M) }[/math].

Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения

[math]\displaystyle{ fH_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(fH_{n-k} (M),\mathbb Z) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \tau H_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(\tau H_{n-k-1} (M), \mathbb Q/\mathbb Z) }[/math]

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре [math]\displaystyle{ H_k (M) \simeq H^{n-k} (M) }[/math] и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства [math]\displaystyle{ fH^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Hom}(H_{n-k} (M); \mathbb Z) }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau H^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Ext}(H_{n-k-1} (M); \mathbb Z) \equiv \mathrm{Hom}(\tau H_{n-k-1} (M); \mathbb Q/\mathbb Z) }[/math]. Таким образом, группы [math]\displaystyle{ fH_k (M)\simeq fH_{n-k} (M) }[/math] являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, [math]\displaystyle{ \tau H_k (M)\simeq \tau H_{n-k-1} (M) }[/math].

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989