Градуированная алгебра

Градуированная алгебра — алгебра [math]\displaystyle{ A }[/math], разложенная в прямую сумму [math]\displaystyle{ A=\bigoplus_{r=-\infty}^{\infty} A_r }[/math] своих подпространств [math]\displaystyle{ A_r }[/math] таким способом, что выполняется условие [math]\displaystyle{ A_rA_s\subset A_{r+s}\ (r, s\in\mathbb{Z}) }[/math].

Определение

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей [math]\displaystyle{ A_g }[/math] по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

[math]\displaystyle{ A_f A_g \subset A_{fg} }[/math]

Если ненулевой элемент a принадлежит [math]\displaystyle{ A_g }[/math], то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Если в качестве A в определении выше взять кольцо, то получится определение градуированного кольца.

Конструкции с градуировками

• Если A — G-градуированная алгебра, а [math]\displaystyle{ \psi : G\to H }[/math] — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H-градуировкой по правилу:

[math]\displaystyle{ A_h=\oplus_{\{g\in G \mid \psi (g)=h\}} A_g }[/math]

• На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая [math]\displaystyle{ A_e=A }[/math], поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.

• Над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:

  [math]\displaystyle{ G=(T(\operatorname{Aut}_{k\text{-alg}}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A \mid \phi (a)=g(\phi)a }[/math] для всякого [math]\displaystyle{ \phi\in T(\operatorname{Aut}_{k\text{-alg}}(A))\} }[/math]

Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G-градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры

• Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
• Кольцо когомологий.
• Алгебра матриц порядка n градуируется группой [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n-1}. }[/math]
• Полугрупповая алгебра [math]\displaystyle{ K\left[G\right] }[/math] — является G-градуированной алгеброй.

Градуированный модуль

Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль, а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A, такой, что

[math]\displaystyle{ M = \bigoplus_{i\in \mathbb Z}M_i }[/math] и [math]\displaystyle{ A_iM_j \subseteq M_{i+j}. }[/math]

Морфизм градуированных модулей [math]\displaystyle{ f: N \to M }[/math] — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть [math]\displaystyle{ f(N_i) \subseteq M_i }[/math].

Для градуированного модуля M можно определить ℓ-подкрутку [math]\displaystyle{ M(\ell) }[/math] как градуированный модуль, определённый правилом [math]\displaystyle{ M(\ell)_n = M_{n+\ell} }[/math]. (См. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)

Пусть M и N — градуированные модули. Если [math]\displaystyle{ f: M \to N }[/math] — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если [math]\displaystyle{ f(M_n) \subset N_{n+d} }[/math]. Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.

Литература

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graded Ring Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1982. — ISBN 9780444864895.