Характеристический класс
Характеристический класс — когомологический класс, сопоставляемый главному расслоению на топологическом пространстве.
История
Понятие характеристического класса появляется в 1935 в работaх Штифеля и Уитни о векторных полях на многообразиях.
Определение
Характеристический класс сопоставляет главному [math]\displaystyle{ G }[/math]-расслоению [math]\displaystyle{ p:P\to X }[/math] элемент [math]\displaystyle{ c_p\in H^*(X) }[/math] в когомологиях такой, что, если [math]\displaystyle{ f:Y\to X }[/math] непрерывное отображение, и [math]\displaystyle{ q:Q\to Y }[/math] индуцированное расслоение, то
- [math]\displaystyle{ c_q=f^{*}(c_p), }[/math]
где [math]\displaystyle{ f^*:H^*(X)\to H^*(Y) }[/math] индуцированый гомоморфизм на когомологиях.
Связанные определения
Взяв ∪-npоизведение нескольких характеристических классов и подставив в него фундаментальный класс многообразия, можно получить инвариант главного расслоения, называемый характеристическим числом.
Примеры
Свойства
- Два многообразия бордантны тогда и только тогда, когда все их числа Штифеля — Уитни совпадают.
- Для ориентированного бордизма требуется дополнительно совпадение всех чисел Понтрягина.
См. также
Ссылки
- Милнор Д., Сташеф Д; Характеристические классы, 1979, с.374.
- Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory
- Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.