Класс Штифеля — Уитни

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению [math]\displaystyle{ E\rightarrow X }[/math]. Обычно обозначается через [math]\displaystyle{ w(E) }[/math]. Принимает значения в [math]\displaystyle{ H^*(X;\;\Z_2) }[/math], кольце когомологий с коэффициентами в [math]\displaystyle{ \Z_2=\Z/2\Z }[/math].

Компонента [math]\displaystyle{ w(E) }[/math] в [math]\displaystyle{ i }[/math]-х когомологиях [math]\displaystyle{ H^i(X;\;\Z_2) }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ w_i(E) }[/math] и называется [math]\displaystyle{ i }[/math]-м классом Штифеля — Уитни расслоения [math]\displaystyle{ E }[/math], так что

[math]\displaystyle{ w(E)=w_0(E)+w_1(E)+w_2(E)+\ldots\,. }[/math]

Классы [math]\displaystyle{ w_i(E) }[/math] являются препятствиями в [math]\displaystyle{ H^i(X;\;\Z_2) }[/math] к построению [math]\displaystyle{ (n-i+1) }[/math]-го линейно независимого сечения [math]\displaystyle{ E }[/math], ограниченного на [math]\displaystyle{ i }[/math]-й остов [math]\displaystyle{ X }[/math].

Аксиоматическое определение

Здесь и далее, [math]\displaystyle{ H^i(X;\;G) }[/math] обозначает сингулярные когомологии пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] с коэффициентами в группе [math]\displaystyle{ G }[/math].

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению [math]\displaystyle{ E }[/math] элемент кольца гомологий [math]\displaystyle{ w(E) }[/math] так, что выполняются следующие аксиомы:

1. Естественность: [math]\displaystyle{ w(f^* E)=f^* w(E) }[/math] для любого расслоения [math]\displaystyle{ E\to X }[/math] и отображения [math]\displaystyle{ f:X'\to X }[/math], где [math]\displaystyle{ f^*E }[/math] обозначает соответствующее индуцированное расслоение над [math]\displaystyle{ X' }[/math].
2. [math]\displaystyle{ w_0(E)=1 }[/math] в [math]\displaystyle{ H^0(X;\;\Z/2\Z) }[/math].
3. [math]\displaystyle{ w_1(\gamma^1) }[/math] является образующей [math]\displaystyle{ H^1(\R P^1;\;\Z/2\Z)\cong\Z/2\Z }[/math] (условие нормализации). Здесь [math]\displaystyle{ \gamma^1 }[/math] — это тавтологическое расслоение.
4. [math]\displaystyle{ w(E\oplus F)= w(E)\smallsmile w(F) }[/math] (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math])

Исходное построение

Классы Штифеля — Уитни [math]\displaystyle{ w_i(E) }[/math] были предложены Э. Штифелем и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению [math]\displaystyle{ (n-i+1) }[/math]-го линейно независимого сечения [math]\displaystyle{ E }[/math], ограниченного на [math]\displaystyle{ i }[/math]-й остов [math]\displaystyle{ X }[/math]. (Здесь [math]\displaystyle{ n }[/math] — размерность слоя [math]\displaystyle{ F }[/math] расслоения [math]\displaystyle{ E }[/math]).

Более точно, если [math]\displaystyle{ X }[/math] является CW-комплексом, Уитни определил классы [math]\displaystyle{ W_i(E) }[/math] в [math]\displaystyle{ i }[/math]-й группе клеточных когомологий [math]\displaystyle{ X }[/math] с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся [math]\displaystyle{ (i-1) }[/math]-я гомотопическая группа многообразия Штифеля [math]\displaystyle{ V_{n-i+1}(F) }[/math] наборов из [math]\displaystyle{ n-i+1 }[/math] линейно независимого вектора в слое [math]\displaystyle{ F }[/math]. Уитни доказал, что для построенных им классов [math]\displaystyle{ W_i(E)=0 }[/math] тогда и только тогда, когда расслоение [math]\displaystyle{ E }[/math], ограниченное на [math]\displaystyle{ i }[/math]-скелет [math]\displaystyle{ X }[/math], имеет [math]\displaystyle{ n-i+1 }[/math] линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа [math]\displaystyle{ \pi_{i-1}V_{n-i+1}(F) }[/math] многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна [math]\displaystyle{ \Z_2 }[/math], существует каноническая редукция классов [math]\displaystyle{ W_i(E) }[/math] к классам [math]\displaystyle{ w_i(E)\in H^i(X;\;\Z_2) }[/math], которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если [math]\displaystyle{ \pi_{i-1}V_{n-i+1}(F)=\Z_2 }[/math], то эти классы просто совпадают.

Связанные определения

• Если мы работаем на многообразии размерности [math]\displaystyle{ n }[/math], то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени [math]\displaystyle{ n }[/math] может быть спарено с [math]\displaystyle{ \Z_2 }[/math]-фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент [math]\displaystyle{ \Z_2 }[/math]; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие [math]\displaystyle{ w_1^3 }[/math], [math]\displaystyle{ w_1w_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ w_3 }[/math]. В общем случае, если многообразие [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям [math]\displaystyle{ n }[/math] в сумму целых слагаемых.
  • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
• Естественному отображению приведения по модулю два, [math]\displaystyle{ \Z\to\Z_2 }[/math], соответствует гомоморфизм Бокштейна

  [math]\displaystyle{ \beta\colon H^i(X;\;\Z_2)\to H^{i+1}(X;\;\Z). }[/math]

Образ класса [math]\displaystyle{ w_i }[/math] под его действием, [math]\displaystyle{ \beta w_i\in H^{i+1}(X;\;\Z) }[/math], называется [math]\displaystyle{ (i+1) }[/math]-м целым классом Штифеля — Уитни.

• В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению [math]\displaystyle{ \mathrm{Spin}^C }[/math]-структуры.

Свойства

• Если расслоение [math]\displaystyle{ E^k }[/math] имеет [math]\displaystyle{ s_1,\;\ldots,\;s_\ell }[/math] сечений, линейно независимых над каждой точкой, то [math]\displaystyle{ w_{k-\ell+1}=\ldots=w_k=0 }[/math].
• [math]\displaystyle{ w_i(E)=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i\gt \mathrm{rank}(E) }[/math].
• Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] ориентируемо тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ w_1(TM)=0 }[/math].
• Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
• Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения [math]\displaystyle{ H^2(M,\;\Z)\to H^2(M,\;\Z_2) }[/math] (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает [math]\displaystyle{ \mathrm{Spin}^C }[/math]-структуру.
• Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия [math]\displaystyle{ X }[/math] обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.