Когомологии де Рама

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерная группа когомологий де Рама многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ H^k_{\mathrm{dR}}(M) }[/math].

Гладкие многообразия

Определения

Через коцепной комплекс

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] с внешним дифференциалом [math]\displaystyle{ d\,^k }[/math] в качестве дифференциала.

[math]\displaystyle{ 0 \to \Omega^0(M) \stackrel{d^0}{\to} \Omega^1(M) \stackrel{d^1}{\to} \Omega^2(M) \stackrel{d^2}{\to} \Omega^3(M)\to \ldots }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \Omega^0(M) }[/math] — пространство гладких функций на [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ \Omega^1(M) }[/math] — пространство 1-форм, то есть [math]\displaystyle{ \Omega^k(M) }[/math] — пространство [math]\displaystyle{ k }[/math]-форм. Заметим, что [math]\displaystyle{ d^{k+1} d^k= 0 }[/math]. [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерная группа когомологий [math]\displaystyle{ H^k }[/math] этого коцепного комплекса является его мерой точности в [math]\displaystyle{ k }[/math]-м члене и определяется как

[math]\displaystyle{ H^k(\Omega^\bullet,\;d^\bullet) = \operatorname{Ker} d^k / \operatorname{Im} d^{k-1}. }[/math]
  • Форма [math]\displaystyle{ \alpha \in \Omega^k(M) }[/math] называется замкнутой, если [math]\displaystyle{ d^k \alpha = 0 }[/math], в этом случае [math]\displaystyle{ \alpha \in \operatorname{Ker} d^k }[/math].
  • Форма [math]\displaystyle{ \alpha \in \Omega^k(M) }[/math] называется точной, если [math]\displaystyle{ \alpha = d^{k-1} \gamma }[/math], для некоторой [math]\displaystyle{ \gamma \in \Omega^{k-1} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \alpha \in \operatorname{Im} d^{k-1} }[/math].

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] в [math]\displaystyle{ \Omega^k(M) }[/math] называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность [math]\displaystyle{ \alpha-\beta=d\gamma }[/math] является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в [math]\displaystyle{ \Omega^k(M) }[/math].

Когомологическим классом [math]\displaystyle{ [\alpha] }[/math] формы [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] на точную форму — то есть множество форм вида [math]\displaystyle{ \alpha+d\gamma }[/math].

[math]\displaystyle{ k }[/math]-мерная группа когомологий де Рама [math]\displaystyle{ H^k_\mathrm{dR}(M) }[/math] — это факторгруппа всех замкнутых форм в [math]\displaystyle{ \Omega^k(M) }[/math] по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math], имеющего [math]\displaystyle{ N }[/math] связных компонент,

[math]\displaystyle{ H^0_\mathrm{dR}(M)\cong\mathbf{R}^N. }[/math]

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — замкнутая [math]\displaystyle{ k }[/math]-форма, а [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] — гомологичные [math]\displaystyle{ k }[/math]-цепи (то есть [math]\displaystyle{ M-N }[/math] является границей [math]\displaystyle{ (k+1) }[/math]-мерной цепи [math]\displaystyle{ W }[/math]), то

[math]\displaystyle{ \int\limits_M\omega=\int\limits_N\omega, }[/math]

поскольку их разность есть интеграл

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\partial W}\omega=\int\limits_W\,d\omega=\int\limits_W 0=0. }[/math]

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама [math]\displaystyle{ H^k_\mathrm{dR}(M) }[/math] в группу сингулярных когомологий [math]\displaystyle{ H^k(M;\;\mathbf R) }[/math]. Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

[math]\displaystyle{ H^k_\mathrm{dR}(M)\cong H^k(M;\;\mathbf R). }[/math]

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп [math]\displaystyle{ H^k_\mathrm{dR}(M) }[/math] структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях [math]\displaystyle{ H^k(M;\;\mathbf R) }[/math] задаёт [math]\displaystyle{ \smile }[/math]-умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразия

Определение

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием [math]\displaystyle{ X }[/math] над полем [math]\displaystyle{ k }[/math] связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия [math]\displaystyle{ X }[/math] называются группы когомологий [math]\displaystyle{ H^p_\mathrm{dR}(X/k) }[/math].

Частные случаи когомологий де Рама

где [math]\displaystyle{ X_{an} }[/math] — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию [math]\displaystyle{ X }[/math].
  • Например, если [math]\displaystyle{ X }[/math] — дополнение к алгебраической гиперповерхности в [math]\displaystyle{ P^n(\Complex) }[/math], то когомологии [math]\displaystyle{ H^p(X,\;\Complex) }[/math] могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на [math]\displaystyle{ P^n(\Complex) }[/math] с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама

Для любого морфизма [math]\displaystyle{ f\colon X\to S }[/math] можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

[math]\displaystyle{ \sum_{p\leqslant 0}\Gamma(\Omega^p_{X/S}), }[/math]

приводящий к относительным когомологиям де Рама [math]\displaystyle{ H^p_\mathrm{dR}(X/S) }[/math].

В случае, если многообразие [math]\displaystyle{ X }[/math] является спектром кольца [math]\displaystyle{ \mathrm{Spec}\,A }[/math], а [math]\displaystyle{ S=\mathrm{Spec}\,B }[/math], то относительный комплекс де Рама совпадает с [math]\displaystyle{ \Lambda\Omega^1_{A/B} }[/math].

Когомологии [math]\displaystyle{ \mathcal{H}^p_\mathrm{dR}(X/S) }[/math] комплекса пучков [math]\displaystyle{ \sum_{p\leqslant 0}f_*\Omega^p_{X/S} }[/math] на [math]\displaystyle{ S }[/math] называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли [math]\displaystyle{ f }[/math] — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на [math]\displaystyle{ S }[/math].

Литература

  • Ботт, Р., Ту, Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997. — 336 с. — ISBN 5-80100-280-4..
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984. — 343 с.
  • де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия = Varietes differentiables. — M.: КомКнига, 2006. — 250 с. — ISBN 5-484-00341-5..
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Когомологии_де_Рама&oldid=5842907