Перейти к содержанию

Сфера Римана

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества [math]\displaystyle{ \widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\} }[/math] в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость».[1]

При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math], задаваемая уравнением [math]\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=z }[/math], со стереографической проекцией в плоскость [math]\displaystyle{ Oxy }[/math], отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь.[1]

Описание

Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость

Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math]. Координаты точек трёхмерного пространства будем обозначать [math]\displaystyle{ (\xi,\eta,\zeta)\in \R^3 }[/math]. В [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] рассмотрим сферу [math]\displaystyle{ S }[/math], касающуюся плоскости [math]\displaystyle{ O\xi\eta }[/math] в точке [math]\displaystyle{ (0;0;0) }[/math], с диаметром [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Такая сфера задаётся уравнением

[math]\displaystyle{ S \colon \xi^2+\eta^2+\zeta^2=\zeta }[/math].

Каждой точке плоскости [math]\displaystyle{ (\xi;\eta;0)\in O\xi\eta }[/math] можно поставить в соответствие точку сферы [math]\displaystyle{ M \in S }[/math] следующим образом. Проведём через точку [math]\displaystyle{ N=(0;0;1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\xi;\eta;0) }[/math] прямую; эта прямая пересечёт сферу в ещё одной точке, которую и будем считать соответствующей точке [math]\displaystyle{ (\xi;\eta;0) }[/math]. Такое соответствие называется стереографической проекцией с центром в [math]\displaystyle{ N }[/math]. Каждой точке плоскости оно однозначно сопоставляет точку сферы. Однако не каждой точке сферы сопоставляется точка плоскости: точке [math]\displaystyle{ N }[/math] не соответствует никакая точка плоскости. Таким образом, мы имеем взаимо-однозначное соответствие между плоскостью [math]\displaystyle{ O\xi\eta }[/math] и [math]\displaystyle{ S \setminus \{N\} }[/math].

Плоскость [math]\displaystyle{ O\xi\eta }[/math] можно отождествить с комплексной плоскостью [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], [math]\displaystyle{ x+iy=(\xi,\eta,0) }[/math]. Тогда определённое выше соответствие задаёт непрерывное взаимо-однозначное отображение [math]\displaystyle{ \tau \colon \mathbb{C} \rightarrow S \setminus \{N\} }[/math]. Чтобы достроить это отображение до биекции на всю сферу, дополним множество [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] ещё одной точкой, которую будем считать прообразом точки [math]\displaystyle{ N }[/math]. Эту точку будем называть бесконечно удалённой точкой и обозначим её через [math]\displaystyle{ \infty }[/math]. Мы получили биекцию [math]\displaystyle{ \pi \colon \mathbb C\cup\{\infty\} \rightarrow S }[/math]. Множество [math]\displaystyle{ \mathbb C\cup\{\infty\} }[/math] называется расширенным множеством комплексных чисел, сфера [math]\displaystyle{ S }[/math]сферой Римана.[1]

Описанная конструкция часто используется во многих учебниках для наглядного определения расширенного множества комплексных чисел. Действительно, топологию на этом множестве можно определить, положив открытыми множествами прообразы открытых множеств по [math]\displaystyle{ \pi }[/math], операции на бесконечность распространяются по непрерывности. Определение при помощи сферы Римана полностью описывает суть расширения множества комплексных чисел, к тому же, представляет её наглядную интерпретацию.

Формальное определение

Сфера [math]\displaystyle{ S }[/math], задаваемая в пространстве [math]\displaystyle{ R^3 }[/math] уравнением

[math]\displaystyle{ S \colon \xi^2+\eta^2+\zeta^2=\zeta }[/math],

вместе с отображением [math]\displaystyle{ \pi\colon S \rightarrow \mathbb C\cup\{\infty\} }[/math], задаваемым как

[math]\displaystyle{ \pi(\xi,\eta,\zeta)=\frac{\xi+i\eta}{1-\zeta} }[/math]

называется сферой Римана.

Отображение в определении можно заменить на обратное, смысл от этого не изменится.

Координаты

Численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел вводятся тремя способами:

  • аффинная комплексная координата [math]\displaystyle{ z }[/math], способная принимать значение [math]\displaystyle{ \infty }[/math];
  • проективные однородные комплексные координаты [math]\displaystyle{ [z_0:z_1] }[/math];
  • трёхмерные вещественные координаты [math]\displaystyle{ \xi, \eta, \zeta }[/math], связанные уравнением:
[math]\displaystyle{ \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \zeta }[/math]

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

[math]\displaystyle{ z = \frac{z_1}{z_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta\gt 0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right. }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \dfrac{z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \dfrac{|z|^2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right. }[/math]
[math]\displaystyle{ z=\frac{\xi+i\eta}{1-\zeta} }[/math][1]

Сферическая метрика

Сфера Римана позволяет ввести на множестве [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется сферической метрикой. Она определяется как евклидова метрика между соответствующими точками на сфере Римана. То есть, для двух чисел [math]\displaystyle{ z_1,z_2\in \mathbb{C} }[/math]

[math]\displaystyle{ \rho(z_1,z_2)=\sqrt{(\xi_1-\xi_2)^2+(\eta_1-\eta_2)^2+(\zeta^2-\zeta^2)} }[/math]

Нетрудно получить прямое выражение такого расстояния.

[math]\displaystyle{ \rho(z_1,z_2)=\frac{|z_2-z_1|}{\sqrt{1+|z_1|^2}\sqrt{1+|z_2|^2}} }[/math]

Евклидова и сферические метрики эквивалентны на [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]. Особенность сферической метрики в том, что она может быть продолжена на расширенное множество комплексных чисел, в отличие от евклидовой. Такое продолжение определяется точно также. Для двух элементов [math]\displaystyle{ z_1,z_2\in \mathbb{C} \cup \{\infty\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \rho(z_1,z_2)=\sqrt{(\xi_1-\xi_2)^2+(\eta_1-\eta_2)^2+(\zeta^2-\zeta^2)} }[/math]

Прямое выражение для такого расстояния, когда одна из точек бесконечность, записывается иначе.

[math]\displaystyle{ \rho(z,\infty)=\frac{1}{\sqrt{1+|z|^2}} }[/math][1]

Автоморфизмы

Автоморфизмами области [math]\displaystyle{ U \subset \mathbb{C} \cup \infty }[/math] называются голоморфные биективные отображения этой области в себя. В случае автоморфизмов всего расширенного множества комплексных чисел обычно используют термин «автоморфизмы сферы Римана» — пример того, как термин «сфера Римана» используется в качестве синонима к термину «расширенное множество комплексных чисел». Автоморфизмами сферы Римана являются дробно-линейные преобразования (или преобразования Мёбиуса). Пусть

[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0 }[/math]

Дробно-линейное преобразование [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{C} \cup \infty \rightarrow \mathbb{C} \cup \infty }[/math] определяется как

[math]\displaystyle{ f(z) = \frac{az+c}{bz+d} }[/math],

достроенное до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.

Дробно-линейные отображения на сфере Римана перводят окружности в окружности.[2]

Приложения

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту [math]\displaystyle{ \theta }[/math] отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. [math]\displaystyle{ 0\lt \theta\lt \pi/2 }[/math] (см. рис.)

В таком случае верны соотношения:

[math]\displaystyle{ z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right. }[/math]

В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.

Внутренность сферы

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

Литература

Ссылки