Теорема Атьи — Зингера об индексе

Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.

Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом, нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление [math]\displaystyle{ K }[/math]-теории — теорию индекса.

Определения и формулировка

Аналитический индекс дифференциального оператора [math]\displaystyle{ d \colon C^\infty(E) \to C^\infty(F) }[/math], где [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ F }[/math] — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием [math]\displaystyle{ X }[/math], — это разность между размерностями его ядра и коядра:

[math]\displaystyle{ i_a(d) = \mathrm{dim} \, \mathrm{Ker} \, d - \mathrm{dim} \, \mathrm{Coker} \, d = \mathrm{dim} \, d^{-1}(0) - \mathrm{dim} \, C^\infty(F)/d(C^\infty(E)) }[/math].

Для эллиптических операторов эти размерности конечны.

Топологический индекс эллиптического оператора [math]\displaystyle{ d \colon C^\infty(E) \to C^\infty(F) }[/math] определяется как:

[math]\displaystyle{ i_t(d) = \{\mathrm{ch} \, V(\sigma) \cdot \pi^*_\Sigma \mathcal T(X)\} [\Sigma(X)] }[/math],

где [math]\displaystyle{ \sigma(d) }[/math] — символ оператора [math]\displaystyle{ d }[/math], определяющий изоморфизм поднятий [math]\displaystyle{ \sigma(d) \colon \pi^*(E) \to \pi^*(F) }[/math], [math]\displaystyle{ \pi \colon S(X) \to X }[/math] — расслоение единичных сфер кокасательного расслоения [math]\displaystyle{ T^*X }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ V(\sigma) }[/math] — расслоение [math]\displaystyle{ \pi^{+*}(E) \cup_\sigma(d) \pi^{-*}(F) }[/math] над склейкой [math]\displaystyle{ \Sigma(X) = B^+ \cup_{S(X)}B^- }[/math] двух экземпляров пространства расслоений [math]\displaystyle{ B(X) }[/math] единичных шаров в [math]\displaystyle{ T^*X }[/math] ([math]\displaystyle{ S(X) }[/math] — край [math]\displaystyle{ B(X) }[/math]); [math]\displaystyle{ \mathrm{ch} \, V(\sigma) }[/math] — когомологический характер Чженя расслоения [math]\displaystyle{ V(\sigma) }[/math]; [math]\displaystyle{ \mathcal T(X) }[/math] — когомологический класс Тодда комплексифицированного кокасательного расслоения [math]\displaystyle{ T^*X \otimes_\R \Complex }[/math]; [math]\displaystyle{ \pi^*_\Sigma \colon \Sigma(X) \to X }[/math]; [math]\displaystyle{ \pi^*_\Sigma \mathcal T(X) = \mathcal T(\Sigma(X)) }[/math], а часть «[math]\displaystyle{ [\Sigma(X)] }[/math]» означает взятие [math]\displaystyle{ 2n }[/math]-мерной компоненты элемента [math]\displaystyle{ \{\mathrm{ch} \, V(\sigma) \cdot \pi^*_\Sigma \mathcal T(X)\} }[/math] на фундаментальном цикле многообразия [math]\displaystyle{ \Sigma(X) }[/math].

Утверждение теоремы заключается в равенстве аналитического и топологического индекса эллиптических операторов на замкнутых многообразиях.

История

Частные проявления соотношения, выраженного в теореме об индексе, были обнаружены ещё в XIX веке, такова, например, формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы, а также её многомерные обобщения. Ещё одно проявление такой связи — теорема Римана — Роха для неособых алгебраических кривых (1865) и её обобщение на произвольные векторные расслоения на компактных комплексных многообразиях — теорема Римана — Роха — Хирцебруха (1954).

Вопрос о возможном соотношении аналитического индекса эллиптических операторов и их топологических характеристик сформулировал Израиль Гельфанд в 1960 году, обратив внимание на инвариантность аналитического индекса относительно деформаций оператора. В 1963 году Атьёй и Зингером найдена такая топологическая характеристика; в 1964 году опубликовано доказательство для многообразий с краем. Первые варианты доказательства использовали технику, сходную с доказательством Фридриха Хирцебруха обобщения гипотезы Римана — Роха, в значительной степени привлекали средства теории когомологий и кобордизмов и отличались значительной технической сложностью. Через несколько лет формулировка и доказательство были переведены на язык [math]\displaystyle{ K }[/math]-теории, тем самым доказательство существенно упрощено, и открыта возможность для дальнейших обобщений, и в 1970-е — 1990-е годы аналоги теоремы были получены для более широких и различных специальных классов объектов.

Теорема об индексе (наряду с [math]\displaystyle{ K }[/math]-теорией и аналогом формулы Лефшеца для эллиптических операторов) была упомянута в номинации Атьи на Филдсовскую премию 1966 года. В 2004 году за теорему об индексе Атья и Зингер удостоены премии Абеля.

Следствия

Из теоремы следует, что топологический индекс эллиптического оператора на замкнутом многообразии — целое число. Другое следствие — аналитический и топологический индексы для оператора на многообразии нечётной размерности равны нулю.

Теорема Римана — Роха и её обобщения — теорема Римана — Роха — Хирцебруха и теорема Римана — Роха — Гротендика — естественные следствия теоремы об индексе.

Литература

• Р. Пале. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе. — М.: Мир, 1970.
• М. Ф. Атья, И. М. Зингер. Индекс эллиптических операторов. I (рус.) = The index of elliptic operators. I // Успехи математических наук / Пер. с англ. С. И. Гельфанда. — Российская академия наук, 1968. — Т. 23, вып. 5, № 143. — С. 99—142. — ISSN 0042-1316.
• Индекса формулы — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский, М. А. Шубин