Класс Понтрягина

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения [math]\displaystyle{ \xi }[/math] с базой [math]\displaystyle{ B }[/math] классы Понтрягина обозначаются символом [math]\displaystyle{ p_i(\xi)\in H^{4i}(B) }[/math] и полагаются равными

[math]\displaystyle{ p_i(\xi)=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes\mathbb C) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \xi\otimes\mathbb C }[/math] — комплексификация расслоения [math]\displaystyle{ \xi }[/math], a [math]\displaystyle{ c_{i} }[/math] — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

[math]\displaystyle{ p(\xi)=1+p_1(\xi)+p_2(\xi)+\dots }[/math].

Если [math]\displaystyle{ B }[/math] — гладкое многообразие и расслоение [math]\displaystyle{ \xi }[/math] явно не указывается, то предполагается что [math]\displaystyle{ \xi }[/math] есть касательное расслоение [math]\displaystyle{ B }[/math].

Свойства

• Через классы Понтрягина выражаются L-класс Хирцебруха и [math]\displaystyle{ \hat A }[/math]-класс.
• Если [math]\displaystyle{ \xi }[/math], [math]\displaystyle{ \eta }[/math] — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
      [math]\displaystyle{ p(\xi\oplus\eta)-p(\xi)p(\eta) }[/math] имеет порядок не больше двух.
  • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
        [math]\displaystyle{ p(\xi\oplus\eta)=p(\xi)p(\eta) }[/math].
• Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
  • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
• Для 2k-мерного расслоения [math]\displaystyle{ \xi }[/math] справедливо равенство
      [math]\displaystyle{ p_k(\xi)=e(\xi)^2, }[/math]
  где [math]\displaystyle{ e(\xi) }[/math] обозначает класс Эйлера.

Литература

• Понтрягин Л. С.  «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков С. П.  «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
• Милнор Дж., Сташеф Дж. . Характеристические классы = Characteristic classes. — М.: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 экз.