Индуцированное расслоение

Индуцированное расслоение — расслоение [math]\displaystyle{ f^*(\pi)\colon E'\to B' }[/math], индуцированное отображением [math]\displaystyle{ f\colon B'\to B }[/math] и расслоением [math]\displaystyle{ \pi\colon E\to B }[/math], где [math]\displaystyle{ E' }[/math] — подпространство прямого произведения [math]\displaystyle{ B'\times E }[/math], состоящее из пар [math]\displaystyle{ (b',e) }[/math], для которых [math]\displaystyle{ f(b')=\pi(e) }[/math], и [math]\displaystyle{ f^*(\pi) \colon (b',e)\mapsto b' }[/math].

При этом следующая коммутативная диаграмма образует декартов квадрат:

Свойства

• Отображение [math]\displaystyle{ F\colon E'\to E }[/math] индуцированного расслоения в исходное расслоение, определённое формулой [math]\displaystyle{ F(b',e) = e }[/math], является морфизмом расслоений, накрывающим [math]\displaystyle{ f }[/math].
  • Для каждой точки [math]\displaystyle{ b'\in B' }[/math] ограничения на слой является гомеоморфизмами.
• Для любого расслоения [math]\displaystyle{ \eta \colon X\to B' }[/math] и морфизма [math]\displaystyle{ H:\eta\to\pi }[/math], накрывающего [math]\displaystyle{ f }[/math], существует один и только один морфизм [math]\displaystyle{ K:\eta\to f^*(\pi) }[/math], удовлетворяющий соотношениям

  [math]\displaystyle{ FK=H }[/math]

  [math]\displaystyle{ f*(\pi)K=\eta }[/math].

• Расслоения, индуцированные изоморфными расслоениями, изоморфны, расслоение, индуцированное постоянным отображением, изоморфно тривиальному.
• Для любого сечения [math]\displaystyle{ s }[/math] расслоения [math]\displaystyle{ \pi }[/math] отображение [math]\displaystyle{ \sigma\colon B'\to E' }[/math], определённое формулой [math]\displaystyle{ \sigma(b')= (b' ,sf(b')) }[/math], является сечением индуцированного расслоения [math]\displaystyle{ f^*(\pi) }[/math] и удовлетворяет соотношению [math]\displaystyle{ F\sigma=sf }[/math].