Экспоненциальная точная последовательность

Экспоненциальная точная последовательность — фундаментальная короткая точная последовательность пучков, используемая в комплексной алгебраической геометрии.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — комплексное многообразие, [math]\displaystyle{ \mathcal O_M }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal O^*_M }[/math] — пучок голоморфных функций и его под пучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций. Комплексная экспонента задаёт отображение

[math]\displaystyle{ \exp : \mathcal O_M \to \mathcal O_M^*, }[/math]

которое является гомоморфизмом пучков абелевых групп. Это отображение локально сюръективно и имеет ядро [math]\displaystyle{ 2\pi \mathbb Z }[/math], что даёт экспоненциальную точную последовательность

[math]\displaystyle{ 0\to 2\pi i\,\mathbb Z \to \mathcal O_M\to\mathcal O_M^*\to 0. }[/math]

Свойства

Эта точная последовательность не сюръективна на глобальных сечениях, например, в проколотом диске, зато она продолжается до длинной точной последовательности когомологий пучков, которая начинается как

[math]\displaystyle{ 0 \to H^0(\mathbb Z) \to H^0(\mathcal O_M) \to H^0(\mathcal O_N^*)\to H^1(\mathbb Z) \to H^1(\mathcal O_M)\to H^1(\mathcal O_M^*) \xrightarrow[]{c_1} H^2(\mathbb Z) \to \cdots }[/math]

где [math]\displaystyle{ H^1(\mathcal O_M^*) }[/math] — группа Пикара, то есть группа классов изоморфизма линейных расслоений, а [math]\displaystyle{ c_1 }[/math] — первый класс Черна.