Топологическая K-теория

В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху.

Определения

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и [math]\displaystyle{ k= \R }[/math] или [math]\displaystyle{ \Complex }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ K_k(X) }[/math] определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных [math]\displaystyle{ k }[/math]-векторных расслоений над X с суммой Уитни. Тензорное произведение расслоений задаёт на K-теории структуру коммутативного кольца. Без индекса, [math]\displaystyle{ K(X) }[/math] обычно обозначает комплексную K-теорию, тогда как вещественная K-теория иногда обозначается как [math]\displaystyle{ KO(X) }[/math]. Далее мы рассматриваем комплексную K-теорию.

В качестве начального примера заметим, что K-теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа.

Существует редуцированная версия K теории, [math]\displaystyle{ \widetilde{K}(X) }[/math],которая определяется для X — компактных пространств с выделенной точкой (ср. приведенные гомологии ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как K(X) по модулю тривиальных расслоений. Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения [math]\displaystyle{ \varepsilon_1 }[/math]и [math]\displaystyle{ \varepsilon_2 }[/math], такие что [math]\displaystyle{ E \oplus \varepsilon_1 \cong F\oplus \varepsilon_2 }[/math] , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , [math]\displaystyle{ \widetilde{K}(X) }[/math] можно определить как ядро отображения [math]\displaystyle{ K(X)\to K(x_0) \cong \Z }[/math] индуцируемого вложением базовой точки x₀ в X.

K-теория является мультипликативной (обобщенной) когомологической теорией. Короткая точная последовательность пространств с выделенной точкой (X, A)

[math]\displaystyle{ \widetilde{K}(X/A)\to\widetilde{K}(X)\to\widetilde{K}(A) }[/math]

Продолжается до длинной точной последовательности

[math]\displaystyle{ \cdots \to \widetilde{K}(SX) \to \widetilde{K}(SA) \to \widetilde{K}(X/A) \to \widetilde{K}(X) \to \widetilde{K}(A). }[/math]

Пусть Sⁿ будет n-ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим:

[math]\displaystyle{ \widetilde{K}^{-n}(X):=\widetilde{K}(S^nX), \qquad n\geq 0. }[/math]

Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность.

Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как:

[math]\displaystyle{ K^{-n}(X)=\widetilde{K}^{-n}(X_+). }[/math]

Где [math]\displaystyle{ X_+ }[/math] это [math]\displaystyle{ X }[/math] с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+». ^[1]

Наконец, теорема Ботта о периодичности, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами.

Свойства

Kⁿ и, соответственно [math]\displaystyle{ \widetilde{K}^n }[/math] являются контравариантными функторами из гомотопической категории пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например, K-теория над стягиваемыми пространствами это [math]\displaystyle{ \Z. }[/math]

Спектром K-теории является [math]\displaystyle{ BU\times\Z }[/math] (с дискретной топологией на [math]\displaystyle{ \Z }[/math] ), т.е. [math]\displaystyle{ K(X) \cong \left [ X^+, \Z \times BU \right ], }[/math] где [, ] обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а BU - копредел классифицирующих пространств унитарных групп: [math]\displaystyle{ BU(n) \cong \operatorname{Gr} \left (n, \Complex^{\infty} \right ). }[/math] Аналогично,

[math]\displaystyle{ \widetilde{K}(X) \cong [X, \Z \times BU]. }[/math]

Для вещественной K теории используется пространство BO .

Аналогом операций Стинрода в K-теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K-теории.

Принцип расщепления в топологической K-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений.

Изоморфизм Тома в топологической K теории это:

[math]\displaystyle{ K(X)\cong\widetilde{K}(T(E)), }[/math]

где T(E) - пространство Тома векторного расслоения E над X. Это выполняется когда E является спинарным расслоением.

Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислять K-группы из обычных групп когомологий.

Топологическую K-теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах.

Периодичность Ботта

Периодичность, названную в честь Рауля Ботта, можно сформулировать так:

[math]\displaystyle{ K(X \times \mathbb{S}^2) = K(X) \otimes K(\mathbb{S}^2), }[/math] и [math]\displaystyle{ K(\mathbb{S}^2) = \Z[H]/(H-1)^2 }[/math], где H - класс тавтологического расслоения на [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^2 = \mathbb{P}^1(\Complex), }[/math] то есть на сфере Римана.

[math]\displaystyle{ \widetilde{K}^{n+2}(X)=\widetilde{K}^n(X). }[/math]

[math]\displaystyle{ \Omega^2 BU \cong BU \times \Z. }[/math]

В вещественной K теории существует похожая периодичность, только по модулю 8.

Приложения

Два самых известных применения топологической K-теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа, сделав вычисления с помощью операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах.

Характер Чженя

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса [math]\displaystyle{ X }[/math] с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

[math]\displaystyle{ ch:K^*_{\text{top}}(X)\otimes\Q \to H^*(X;\Q) }[/math]

такой, что

[math]\displaystyle{ \begin{align} K^0_{\text{top}}(X)\otimes \Q & \cong \bigoplus_k H^{2k}(X;\Q) \\ K^1_{\text{top}}(X)\otimes \Q & \cong \bigoplus_k H^{2k+1}(X;\Q) \end{align} }[/math]

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия [math]\displaystyle{ X }[/math].

См. также

Теорема Атьи-Зингера об индексе

Ссылки

↑ [1]. Архивная копия от 17 апреля 2018 на Wayback Machine

Литература

Atiyah, Michael Francis. K-theory. — 2nd. — Addison-Wesley, 1989. — (Advanced Book Classics). — ISBN 978-0-201-09394-0.
Handbook of K-Theory. — Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-3-540-30436-4.
Karoubi, Max. K-theory: an introduction. — Springer-Verlag, 1978. — ISBN 0-387-08090-2.
Hatcher. Vector Bundles & K-Theory (неопр.).
Stykow. Connections of K-Theory to Geometry and Topology (неопр.).
Karoubi, Max (2006), K-theory. An elementary introduction, arΧiv:math/0602082.

[1] [1]. Архивная копия от 17 апреля 2018 на Wayback Machine

[1]