Релятивистская механика
Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.
Общие принципы
В классической механике пространственные координаты и время являются независимыми (при отсутствии гомоных связей, зависящих от времени), время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта, и действуют преобразования Галилея. В релятивистской же механике события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.
Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса — являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.
Второй закон Ньютона в релятивистской механике
Сила определяется как
- [math]\displaystyle{ \vec F= \frac {d\vec p}{dt}. }[/math]
Также известно выражение для релятивистского импульса:
- [math]\displaystyle{ \vec p = \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}. }[/math]
Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:
- [math]\displaystyle{ \frac {d\vec {p}}{dt}=m\gamma\vec a +m\gamma^3\vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ), }[/math]
где введены обозначения: [math]\displaystyle{ \vec{\beta}\equiv \frac {\vec{v}}{c} }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma \equiv \frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} }[/math].
В результате выражение для силы приобретает вид:
- [math]\displaystyle{ \vec F= m\gamma\vec a +m\gamma^3 \vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ). }[/math]
Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.
Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике
Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия
- [math]\displaystyle{ S= -\int\limits_{a}^{b}\alpha ds, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО)
- [math]\displaystyle{ ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt. }[/math]
Подставляя в интеграл движения, находим
- [math]\displaystyle{ S=- \int\limits_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}dt. }[/math]
Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа
- [math]\displaystyle{ S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt. }[/math]
Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}. }[/math]
Далее, разложим последнее выражение по степеням [math]\displaystyle{ \frac{v}{c} }[/math], получим
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}. }[/math]
Первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: [math]\displaystyle{ \frac{m v^2}{2} }[/math], нетрудно определить константу [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]
- [math]\displaystyle{ \alpha = mc. }[/math]
Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}. }[/math]
Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.
Релятивистская частица как неголономная система
Поскольку квадрат 4-вектора импульса [math]\displaystyle{ P_{\alpha} }[/math] является постоянной величиной:
- [math]\displaystyle{ P_{\alpha} P^{\alpha} - m^2 c^2=0, }[/math]
то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве[1][2][3].
Примечания
- ↑ O. Krupková and J. Musilová, «The relativistic particle as a mechanical system with non-holonomic constraints», J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 3859-3876.
- ↑ O. Krupkova, J. Musilova, «The relativistic mechanics in a nonholonomic setting: A unified approach to particles with non-zero mass and massless particles» arXiv:0904.2933.
- ↑ V.E. Tarasov «Relativistic non-Hamiltonian mechanics» Annals of Physics. Vol.325. No.10.(2010) p.2103-2119.
См. также
- Теория относительности
- Специальная теория относительности
- Общая теория относительности
- Релятивистски равноускоренное движение
- Релятивистская электродинамика
Литература
- Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
- Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 3-е, переработанное. — М.: Физматгиз, 1960. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II).
- Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)
