U(1)
[math]\displaystyle{ U(1) }[/math] (унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: [math]\displaystyle{ \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \} }[/math]. Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе [math]\displaystyle{ SO(2) }[/math] вращений двумерного вещественного пространства.
Названия и обозначения
Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера [math]\displaystyle{ 1\times 1 }[/math]. Данная группа естественным образом изоморфна группе [math]\displaystyle{ SO(2) }[/math] вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как [math]\displaystyle{ T }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbb T }[/math] в связи с тем, что квадрат этой группы [math]\displaystyle{ \mathbb T\times\mathbb T }[/math] представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп [math]\displaystyle{ \mathbb T }[/math], не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.
[math]\displaystyle{ U(1) }[/math] упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: [math]\displaystyle{ \partial D }[/math]) или просто «окружность» ([math]\displaystyle{ S }[/math] или [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]).
Некоторые свойства
Группа [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] компактна и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную [math]\displaystyle{ U(1) }[/math].
Группа [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] не является односвязной.
Элементарное толкование
150° + 270° = 60°
Элементы группы [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] фактически определяют величину угла: комплексное число [math]\displaystyle{ z }[/math] группы можно записать как [math]\displaystyle{ z = e^{i\phi} }[/math] (причём [math]\displaystyle{ \phi }[/math] будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов [math]\displaystyle{ SO(2) }[/math] всей плоскости вокруг начала координат.
Углы, различающиеся на целое число оборотов ([math]\displaystyle{ 2\pi n }[/math], если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на [math]\displaystyle{ 120^\circ=2\pi/3 }[/math] и [math]\displaystyle{ 240^\circ=4\pi/3 }[/math] будет равна нулю. Таким образом, группа [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] изоморфна факторгруппе [math]\displaystyle{ {\mathbb R}/2\pi{\mathbb Z} }[/math] группы вещественных чисел по модулю [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. Если измерять угол в оборотах ([math]\displaystyle{ 2\pi=360^\circ }[/math]), то [math]\displaystyle{ U(1)\approx{\mathbb R}/{\mathbb Z} }[/math] — группа дробных частей вещественных чисел.
Применение
Группа [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).
В физике калибровочная [math]\displaystyle{ U(1) }[/math]-теория — электродинамика (с уравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.
На свойствах [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] основан метод тригонометрических сумм.