Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор [math]\displaystyle{ U }[/math] : [math]\displaystyle{ H }[/math] → [math]\displaystyle{ H }[/math] на гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math], который удовлетворяет соотношению

[math]\displaystyle{ U^*U=UU^*=I }[/math]

где [math]\displaystyle{ U^* }[/math] — эрмитово сопряжённый к [math]\displaystyle{ U }[/math] оператор, и [math]\displaystyle{ I }[/math] : [math]\displaystyle{ H }[/math] → [math]\displaystyle{ H }[/math] единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. [math]\displaystyle{ U }[/math] сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть для всех векторов [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] в гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle. }[/math]
2. [math]\displaystyle{ U }[/math] — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. [math]\displaystyle{ U }[/math] сохраняет скалярное произведение, и
2. образ [math]\displaystyle{ U }[/math] — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что [math]\displaystyle{ U }[/math] изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что [math]\displaystyle{ U }[/math] сохраняет скалярное произведение. Образ [math]\displaystyle{ U }[/math] — плотное множество. Очевидно, что [math]\displaystyle{ U^{-1} }[/math] = [math]\displaystyle{ U^* }[/math].

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

[math]\displaystyle{ U^*U=UU^*=I }[/math]

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим
• если оператор [math]\displaystyle{ \hat H }[/math] эрмитов, то оператор [math]\displaystyle{ \hat U = \exp(i\hat H) }[/math] унитарен.

Примеры

• Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора.
• Вращения в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] — это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math].
• В векторном пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] комплексных чисел умножение на число с модулем [math]\displaystyle{ 1 }[/math], то есть число вида [math]\displaystyle{ e^{i \theta} }[/math] для [math]\displaystyle{ \theta \in \mathbb{R} }[/math], является унитарным оператором. [math]\displaystyle{ \theta }[/math] называется фазой. Можно заметить, что значение [math]\displaystyle{ \theta }[/math], кратное [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] топологически эквивалентно окружности.

Свойства

• Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию [math]\displaystyle{ f }[/math] на [math]\displaystyle{ L^2(\mu) }[/math], для некоторого пространства с мерой ([math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ \mu }[/math]). Из [math]\displaystyle{ UU^* =I }[/math] следует [math]\displaystyle{ |f(x)|^2 = 1 }[/math].

Отличие бесконечномерного случая

В случае, если унитарный оператор действует на конечномерном пространстве, он может быть представлен унитарной матрицей. При этом из условия [math]U^*U=I[/math] (или из условия [math]UU^*=I[/math]) автоматически следует невырожденность матрицы, а значит и её обратимость. В бесконечномерном случае возможны операторы для которых [math]U^*U=I[/math], но при этом [math]UU^*\not=I[/math]. Такой оператор не будет унитарным. Построим соответствующий пример.

Пусть в гильбертовом пространстве имеется базис [math]\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_k,\dots[/math], элементы которого нумеруются целыми неотрицательными числами [math]0,1,2,\dots,k,\dots[/math]. Оператор [math]A[/math] определим через действие на базисные векторы

[math]A\mathbf{e}_k=\mathbf{e}_{k+1},[/math]

Тогда сопряжённый оператор действует на базисные векторы следующим образом

[math]A^*\mathbf{e}_k=\left\{\begin{array}[cc] ~{0},&k=0\\ \mathbf{e}_{k-1},&k\not=0\end{array}\right..[/math]

Следовательно

[math]A^*A\mathbf{e}_k=\mathbf{e}_k~\Rightarrow~A^*A=I[/math]

[math]AA^*\mathbf{e}_k=\left\{\begin{array}[cc] ~{0},&k=0\\\mathbf{e}_{k},&k\not=0\end{array}\right.~\Rightarrow~AA^*\not=I.[/math]

Унитарные преобразования в квантовой механике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице.

Все симметрии замкнутых квантовых систем должны быть обратимыми линейными (в силу линейности теории) преобразованиями сохраняющими вероятность (норму вектора состояния), т.е. симметрии квантовых систем описываются унитарными операторами. Унитарный оператор [math]\hat U[/math] является симметрией квантовой системы, если он коммутирует с гамильтонианом [math]\hat H[/math]:

[math]\hat H\hat U=\hat U\hat H.[/math]

Каждая такая симметрии может быть включена в однопараметрическую группу симметрий,

[math]\hat U=\hat U_{s_0},\quad \hat U_0=\hat1,\quad \hat U_{s_1}\hat U_{s_2}=\hat U_{s_1+s_2},\quad s_0,s_1,s_2\in\mathbb{R}.[/math]

Такая группа порождается некоторой квантовой наблюдаемой [math]\hat A=\hat A^\dagger[/math]:

[math]\hat U_s=e^{is\hat A},[/math]

для которой выполняется закон сохранения

[math]\frac{d\langle A\rangle}{dt}=0~\Leftrightarrow~\frac{d\hat A}{dt}:=-\frac{i}{\hbar}[\hat A,\hat H]=0.[/math]

Оператор импульса в квантовой механике порождает унитарные операторы сдвига по соответствующей координате, а оператор координаты — сдвиги по импульсу (ниже [math]\tilde\psi[/math] — волновая функция в импульсном представлении, т.е. преобразование Фурье от [math]\psi[/math]):

[math]e^{\frac{i}{\hbar}a\hat p_x}\psi(x,y,z)=\psi(x+a,y,z),\qquad e^{\frac{i}{\hbar}b\hat x}\tilde\psi(p_x,p_y,p_z)=\tilde\psi(p_x-b,p_y,p_z).[/math]

Канонические коммутационные соотношения могут быть записаны в форме Вейля через унитарные операторы:

[math]e^{\frac{i}{\hbar}a\hat p_\alpha} e^{\frac{i}{\hbar}b\hat x_\beta}e^{-\frac{i}{\hbar}a\hat p_\alpha} e^{-\frac{i}{\hbar}b\hat x_\beta}=e^{i\frac{ab}{\hbar}\delta_{\alpha\beta}}.[/math]

Если временная эволюция замкнутой квантовой системы описывается как обратимый процесс (возможны описания не удовлетворяющие этому условию, но обычно они не применяются), то временная эволюция тоже оказывается симметрией. Соответствующий ей унитарный оператор — оператор эволюции, а квантовая наблюдаемая, порождающая этот унитарный оператор — сам гамильтониан (в этом случае гамильтониан не может зависеть от времени).

[math]\hat U_t=e^{-\frac{i}{\hbar}t\,\hat H}.[/math]

В случае зависящего от времени Гамильтониана операторы эволюции также являются унитарными, но уже не образуют однопараметрическую группу.

См. также

• Унитарная матрица
• Гильбертово пространство

Литература

• Унитарный оператор // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).