Бра и кет

⟨	∣	⟩
bra		ket
бра		кет
ско		бка

Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой. Данная система обозначений представляет собой не более чем иные текстуальные обозначения для векторов, ковекторов, билинейных форм и скалярных произведений, и потому применима (хотя и не так часто используется) в линейной алгебре вообще. В тех случаях, когда данная система обозначений используется в линейной алгебре, обычно речь идет о бесконечно-мерных пространствах и/или о линейной алегбре над комплексными числами.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{H}, }[/math] элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом [math]\displaystyle{ |\psi\rangle }[/math].

Каждому кет-вектору [math]\displaystyle{ |\psi\rangle }[/math] ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к [math]\displaystyle{ \mathcal{H}, }[/math] то есть из [math]\displaystyle{ \mathcal{H}^*. }[/math]

Бра-вектор [math]\displaystyle{ \langle \psi | }[/math] из пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{H}^* }[/math] определяется соотношением:

[math]\displaystyle{ \langle\psi|\colon \mathcal H \to \mathbb{C}\colon \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right)\rangle = \left( |\psi\rangle,\; |\rho\rangle \right) }[/math], для любого кет-вектора [math]\displaystyle{ |\rho\rangle. }[/math]

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису [math]\displaystyle{ \mathcal{H}^* }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathcal{H}. }[/math]

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде [math]\displaystyle{ \langle \varphi |\psi\rangle; }[/math] две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: [math]\displaystyle{ \langle \psi |\psi\rangle \geqslant 0. }[/math] На векторы, описывающие состояния системы, когда это возможно, накладывается условие нормировки [math]\displaystyle{ \langle \psi |\psi\rangle = 1. }[/math]

Линейные операторы

Если [math]\displaystyle{ A\colon H\to H }[/math] — линейный оператор из [math]\displaystyle{ H }[/math] в [math]\displaystyle{ H }[/math], то действие оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] на кет-вектор [math]\displaystyle{ |\psi\rangle }[/math] записывается как [math]\displaystyle{ A|\psi\rangle. }[/math]

Для каждого оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] и бра-вектора [math]\displaystyle{ \langle\varphi| }[/math] вводится функционал [math]\displaystyle{ (\langle\varphi|A) }[/math] из пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{H}^*, }[/math] то есть бра-вектор, умноженный на оператор [math]\displaystyle{ A }[/math], который определяется равенством:

[math]\displaystyle{ \bigg(\langle\varphi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\varphi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg), }[/math] для любого вектора [math]\displaystyle{ |\psi\rangle. }[/math]

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто [math]\displaystyle{ \langle\varphi| A|\psi\rangle. }[/math]

Это выражение называется свёрткой оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] с бра-вектором [math]\displaystyle{ \langle \varphi | }[/math] и кет-вектором [math]\displaystyle{ |\psi\rangle. }[/math] Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] в определённом базисе (в тензорных обозначениях — [math]\displaystyle{ A_{kl} }[/math]) записывается в обозначениях Дирака как [math]\displaystyle{ \langle k| A| l\rangle, }[/math] а среднее значение наблюдаемой (билинейная форма) на состоянии [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — как [math]\displaystyle{ \langle\psi| A|\psi\rangle. }[/math]

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

[math]\displaystyle{ |\tilde\psi\rangle = A|\psi\rangle, }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle \tilde\varphi | = \langle \varphi |A. }[/math]

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

[math]\displaystyle{ H|\psi\rangle = E|\psi\rangle, }[/math] где [math]\displaystyle{ H }[/math] — гамильтониан, а [math]\displaystyle{ E }[/math] — скаляр (уровень энергии).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения [math]\displaystyle{ \langle\varphi,\;\psi\rangle }[/math] в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору [math]\displaystyle{ i|\psi\rangle }[/math] будет являться бра-вектор [math]\displaystyle{ -i \langle \psi | }[/math] (где [math]\displaystyle{ i }[/math] — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния [math]\displaystyle{ \psi }[/math] (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как [math]\displaystyle{ e_k, }[/math] в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: [math]\displaystyle{ \langle k|\;,\;|l\rangle. }[/math] Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, [math]\displaystyle{ \mathcal{H}=R^n, }[/math] то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера [math]\displaystyle{ N\times 1 }[/math], бра-векторы — размера [math]\displaystyle{ 1\times N }[/math], операторы — размера [math]\displaystyle{ N\times N }[/math], где [math]\displaystyle{ N }[/math] — количество состояний квантовой системы (размерность пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math]). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ \langle \psi | = \begin{pmatrix}\overline{c}_1, \overline{c}_2, \ldots , \overline{c}_N\end{pmatrix}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ |\psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_N \end{pmatrix} }[/math]

Запись типа [math]\displaystyle{ \langle \ldots \rangle }[/math] всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева [math]\displaystyle{ \langle, }[/math] кет-вектор — скобку справа [math]\displaystyle{ \rangle. }[/math] Вводится также произведение в «неестественном» порядке — [math]\displaystyle{ | \varphi\rangle \langle \psi | }[/math] (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор [math]\displaystyle{ |\psi\rangle \langle \varphi| }[/math] имеет ранг 1 и является тензорным произведением [math]\displaystyle{ |\psi\rangle }[/math] и [math]\displaystyle{ \langle \varphi|. }[/math] Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор [math]\displaystyle{ |\psi\rangle \langle \psi| }[/math] (при нормировке [math]\displaystyle{ \langle \psi |\psi\rangle = 1 }[/math]) является проектором на состояние [math]\displaystyle{ \psi }[/math], точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в [math]\displaystyle{ \mathcal{H}. }[/math]

Имеет место ассоциативность:

[math]\displaystyle{ \langle\varphi |\cdot A|\psi\rangle\ =\ \langle\varphi| A|\psi\rangle\ =\ \langle \varphi |A \cdot| \psi\rangle, }[/math]

[math]\displaystyle{ |\psi\rangle\cdot\langle\varphi|\tilde\psi\rangle\ =\ (|\psi\rangle\langle\varphi|) \cdot| \tilde\psi\rangle }[/math]

и т. д.

Литература

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.