Теория операторов

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение [math]\displaystyle{ T }[/math] из векторного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в векторное пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется линейным оператором если [math]\displaystyle{ T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y) }[/math] для любых [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math] и любых скаляров [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math]. Часто пишут [math]\displaystyle{ Tx }[/math] вместо [math]\displaystyle{ T(x) }[/math]. Линейный оператор из нормированного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в нормированное пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется ограниченным если найдется положительное вещественное число [math]\displaystyle{ M }[/math] такое что [math]\displaystyle{ \lVert Tx\rVert\leqslant M\lVert x\rVert }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math]. Наименьшая константа [math]\displaystyle{ M }[/math] удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора [math]\displaystyle{ T }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ \lVert T\rVert }[/math]. Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в нормированное пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ L(X,\;Y) }[/math]. В случае когда [math]\displaystyle{ X=Y }[/math] пишут [math]\displaystyle{ L(X) }[/math] вместо [math]\displaystyle{ L(X,\;X) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ H }[/math] — гильбертово пространство, то обычно пишут [math]\displaystyle{ B(H) }[/math] вместо [math]\displaystyle{ L(H) }[/math]. На [math]\displaystyle{ L(X,\;Y) }[/math] можно ввести структуру векторного пространства через [math]\displaystyle{ (T+S)x=Tx+Sx }[/math] и [math]\displaystyle{ (\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha(Tx) }[/math], где [math]\displaystyle{ T,\;S\in L(X,\;Y) }[/math], [math]\displaystyle{ x,\;y\in X }[/math], а [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — произвольный скаляр. С введённой операторной нормой [math]\displaystyle{ L(X,\;Y) }[/math] превращается в нормированное пространство.

В частности, [math]\displaystyle{ \lVert S+T\rVert\leqslant\lVert S\rVert+\lVert T\rVert }[/math] и [math]\displaystyle{ \lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert }[/math] для любых [math]\displaystyle{ T,\;S\in L(X,\;Y) }[/math] и произвольного скаляра [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]. Пространство [math]\displaystyle{ L(X,\;Y) }[/math] является банаховым тогда и только тогда когда [math]\displaystyle{ Y }[/math] — банахово.

Пусть [math]\displaystyle{ X,\;Y }[/math] и [math]\displaystyle{ Z }[/math] — нормированные пространства, [math]\displaystyle{ S\in L(X,\;Y) }[/math] и [math]\displaystyle{ T\in L(Y,\;Z) }[/math]. Композиция [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ TS }[/math] и называется произведением операторов [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math]. При этом [math]\displaystyle{ TS\in L(X,\;Z) }[/math] и [math]\displaystyle{ \lVert TS\rVert\leqslant\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert }[/math]. Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — банахово пространство, то [math]\displaystyle{ L(X) }[/math], оснащённое произведением, является банаховой алгеброй.

В теории операторов можно выделить несколько основных разделов:

Спектральная теория изучает спектр оператора.
Классы операторов. В частности, компактные операторы, фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
Операторы на специальных нормированных пространствах.
- На гильбертовых пространствах изучают самосопряжённые, нормальные, унитарные, положительные операторы и др.
- На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом и др.
- На банаховых решётках: положительные операторы, регулярные операторы и др.
Совокупности операторов (то есть, подмножества [math]\displaystyle{ L(X) }[/math]): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
Теория инвариантных подпространств.

Литература

Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962. — 896 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. — М.: Мир. 1966. — 1064 с.