Эрмитова форма
Эрмитова форма — естественный аналог понятия симметричной билинейной формы для комплексных векторных пространств. Для эрмитовых форм верны аналоги многих свойств симметрических форм: приведение к каноническому виду, понятие положительной определенности и критерий Сильвестра[1].
Определение
Эрмитова форма — это полуторалинейная форма [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] от двух векторов векторного пространства [math]\displaystyle{ V }[/math] над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] со значениями в этом поле, обладающая свойством симметричности[1] :
- [math]\displaystyle{ f(x,y)= \overline{f(y,x)} \ \ \forall x,y \in V. }[/math]
Таким образом, полный набор условий, определяющих эрмитову форму, состоит в следующем:
- [math]\displaystyle{ f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y) \ \ \forall x_i,y \in V, }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y) \ \ \forall x,y \in V, \ \alpha \in \mathbb{C}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+f(x,y_2) \ \ \forall x,y_i \in V, }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x,\alpha y)=\overline \alpha f(x,y) \ \ \forall x,y \in V, \ \alpha \in \mathbb{C}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x,y)= \overline{f(y,x)} \ \ \forall x,y \in V. }[/math]
Свойства
Из условия эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величины [math]\displaystyle{ f(x,x) }[/math]. При этом (вещественнозначная) функция [math]\displaystyle{ \phi(x)=f(x,x) }[/math] на комплексном векторном пространстве V называется квадратично-эрмитовой. Имеет место и обратный факт, который может быть сформулирован как критерий того, что полуторалинейная форма является эрмитовой:
|
Теорема[1]. Полуторалинейная форма [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] является эрмитовой тогда и только тогда, когда связанная с ней функция [math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math] принимает только вещественные значения. |
В случае выполнения дополнительного условия
- [math]\displaystyle{ f(x,x) \gt 0 \ \ \ \forall x \neq 0 }[/math]
эрмитова форма f(x,y) и квадратично-эрмитова функция [math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math] называются положительно определёнными.
Литература
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.