Свёртка тензора

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности [math]\displaystyle{ (m, n) }[/math] в тензор валентности [math]\displaystyle{ (m-1, n-1) }[/math].

Определение

В простейшем случае, свёртка для простого тензора [math]\displaystyle{ v\otimes f }[/math] типа [math]\displaystyle{ (1, 1) }[/math], определяется как скаляр [math]\displaystyle{ f(v) }[/math]. Эта операция продолжается линейно на все тензоры типа [math]\displaystyle{ (1, 1) }[/math].

В общем случае, тензор типа [math]\displaystyle{ (m, n) }[/math] можно рассматривать как линейное отображение из пространства тензоров валентности [math]\displaystyle{ (n-1,m-1) }[/math] в пространство тензоров валентности [math]\displaystyle{ (1, 1) }[/math]; для выбора такого представления надо выбрать ко- контравариантный индекс. Свёртка образа даёт отображение из пространства тензоров валентности [math]\displaystyle{ (n-1,m-1) }[/math] в скаляры, то есть тензор валентности [math]\displaystyle{ (m-1, n-1) }[/math]. Он и называется свёрткой тензора по двум данным индексам.

Обозначения

В координатах она записывается следующим образом:

[math]\displaystyle{ {T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}} \rightarrow {T^{i_1, \dots, i_n}_{j_1, \dots, j_n}} = {T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}} }[/math]

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, то есть в данном случае по [math]\displaystyle{ i_0 }[/math].

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, [math]\displaystyle{ A^i_j B^j_k }[/math] есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

[math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk} }[/math].

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

[math]\displaystyle{ A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik} }[/math]

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

Примеры

• Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
• Свёртка [math]\displaystyle{ A^i_{\ j} v^j }[/math] вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
• Свёртка [math]\displaystyle{ \ B_{ij} a^i b^j }[/math] векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором [math]\displaystyle{ \ g_{ij} a^i b^j }[/math] дает их скалярное произведение.
• В том числе [math]\displaystyle{ \ B_{ij} v^i v^j }[/math] — квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
• Свёртка [math]\displaystyle{ \ a_j b^j }[/math] ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
• Свёртка [math]\displaystyle{ A^j_{\ j} }[/math] тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы [math]\displaystyle{ A^i_{\ j} }[/math]. Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
• Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): [math]\displaystyle{ B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr} }[/math]

Свойства

• Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 2. — Москва: МЦНМО, 2014. — С. 347. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-2013-9.