Безусловная сходимость

В математическом анализе, ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_n }[/math] в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки [math]\displaystyle{ \sigma: \N \to \N }[/math] ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} }[/math] является сходящимся.

Свойства

Если ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_n }[/math] является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент [math]\displaystyle{ x \in X, }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} = x, }[/math] для произвольной перестановки [math]\displaystyle{ \sigma: \N \to \N. }[/math]
Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rⁿ, тогда вследствие теоремы Римана, ряд [math]\displaystyle{ \sum x_n }[/math] является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
Если [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] — последовательность элементов гильбертова пространства H, то из безусловной сходимости ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_n }[/math] следует [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \lVert x_n \rVert^2 \lt \infty. }[/math]

Эквивалентные определения

Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:

для произвольной последовательности [math]\displaystyle{ (\varepsilon_n)_{n=1}^\infty }[/math], где [math]\displaystyle{ \varepsilon_n\in\{-1, +1\} }[/math], ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n }[/math] является сходящимся.
для произвольной последовательности [math]\displaystyle{ (\alpha_n)_{n=1}^\infty }[/math], такой, что [math]\displaystyle{ \sup_n |\alpha_n| \lt \infty }[/math], ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n }[/math] является сходящимся.
для произвольной последовательности [math]\displaystyle{ 1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \ldots }[/math], ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_{k_n} }[/math] является сходящимся.
для произвольного [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует конечное подмножество [math]\displaystyle{ I \subset \N, }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \lVert \sum_{i \in J} x_i \rVert\, \lt \varepsilon }[/math] для произвольного конечного подмножества [math]\displaystyle{ J \subset \N \setminus I }[/math]

Пример

Пусть дано пространство [math]\displaystyle{ l^p\,, }[/math] где [math]\displaystyle{ 1 \lt p \lt \infty }[/math] — банахово пространство числовых последовательностей с нормой [math]\displaystyle{ \|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}} }[/math]. Рассмотрим в нём последовательность [math]\displaystyle{ x_n = (0, \ldots, \frac{1}{n}, 0, \ldots), }[/math] где ненулевое значение стоит на n-м месте. Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_n }[/math] является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

См. также

Ссылки

Попов Михаил. Геометрия банаховых пространств (недоступная ссылка)
Christopher Heil. A Basis Theory Primer (англ.)
Безусловная сходимость (англ.) на сайте PlanetMath.

Литература

Банах С.С,, Курс функционального анализа (линейные операции) (недоступная ссылка), К.: Радянська Школа, 1948.
Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .