Трансцендентное число

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю). Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.

Свойства

Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math] — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения [math]\displaystyle{ x^2-2=0 }[/math] (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

1. Если [math]\displaystyle{ t }[/math] — трансцендентное число, то [math]\displaystyle{ -t }[/math] и [math]\displaystyle{ 1/t }[/math] также трансцендентны.
2. Если [math]\displaystyle{ a }[/math] — ненулевое алгебраическое число, а [math]\displaystyle{ t }[/math] — трансцендентное число, то [math]\displaystyle{ a \pm t,\ at,\ a/t,\ t/a }[/math] трансцендентны.
3. Если [math]\displaystyle{ t }[/math] — трансцендентное число, а [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное число, то [math]\displaystyle{ t^{\pm n} }[/math] и [math]\displaystyle{ \sqrt[n]t }[/math] трансцендентны.

Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега) трансцендентного числа равна 2.

Примеры трансцендентных чисел

• Число [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (Ф. фон Линдеман, 1882).
• Число [math]\displaystyle{ e }[/math] (Ш. Эрмит, 1873).
• Постоянная Гельфонда [math]\displaystyle{ e^\pi }[/math] (А. О. Гельфонд, 1934).
• [math]\displaystyle{ \pi+e^\pi }[/math], [math]\displaystyle{ \pi*e^\pi }[/math] (Ю. В. Нестеренко, 1996).
• Десятичный логарифм любого натурального числа, кроме чисел вида [math]\displaystyle{ 10^n }[/math].
• [math]\displaystyle{ \sin a, \cos a }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{tg}\,a }[/math], для любого ненулевого алгебраического числа [math]\displaystyle{ a }[/math] (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

История

См. также: Теория трансцендентных чисел

Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл Леонард Эйлер в труде «De relation inter tres pluresve quantitates instituenda» (1775 год). Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы; он заявил, что значение логарифма [math]\displaystyle{ \log_a{b} }[/math] для рациональных чисел [math]\displaystyle{ a, b }[/math] не является алгебраическим («радикальным», как тогда говорили), за исключением случая, когда [math]\displaystyle{ b=a^c }[/math] для некоторого рационального [math]\displaystyle{ c. }[/math] Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.

Существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль в 1844 году, когда опубликовал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры («числа Лиувилля»), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.

В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов. В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math] и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если [math]\displaystyle{ a \neq 0, 1 }[/math], [math]\displaystyle{ a }[/math] — алгебраическое число, и [math]\displaystyle{ b }[/math] — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что [math]\displaystyle{ a^b }[/math] — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число [math]\displaystyle{ 2^\sqrt 2 }[/math]. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чисел.

Некоторые открытые проблемы

• Неизвестно, является ли число [math]\displaystyle{ \ln \pi }[/math] рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным.
• Неизвестна мера иррациональности для чисел [math]\displaystyle{ \ln 2, \ln 3 }[/math].

См. также

• Кольцо периодов
• Степень трансцендентности

Литература

• Спринджук В. Г. Трансцендентное число // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — С. 426—427. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1983. — № 7. — С. 2—7.