Теория трансцендентных чисел

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа (вещественные или комплексные), которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например,такие важнейшие константы анализа, как [math]\displaystyle{ \pi }[/math] и e, являются трансцендентными, а [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] не является, поскольку [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] есть корень многочлена [math]\displaystyle{ x^2-2. }[/math]

Одна из главных проблем данной теории — выяснить, является ли заданное число трансцендентным или нет. Методы и результаты теории трансцендентных чисел широко применяются при исследовании диофантовых уравнений.

Трансцендентные числа

Согласно основной теореме алгебры, любой ненулевой многочлен с целыми коэффициентами имеет комплексный корень. Другими словами, для любого полинома [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] с целыми коэффициентами существует комплексное число [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ P(\alpha) = 0. }[/math] Теория трансцендентных чисел рассматривает преимущественно обратный вопрос: дано комплексное число [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]; определить, существует ли многочлен [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] с целыми коэффициентами такой, что [math]\displaystyle{ P(\alpha) = 0. }[/math] Если доказано, что такого полинома не существует, значит, тем самым доказана трансцендентность числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].

Совокупность корней всех многочленов с целыми коэффициентами называется множеством алгебраических чисел. Например, всякое рациональное число [math]\displaystyle{ {m \over n} }[/math] является алгебраическим как корень многочлена [math]\displaystyle{ nx-m; }[/math] всевозможные конечные комбинации радикалов произвольной степени из целых чисел также относятся к алгебраическим числам. Таким образом, все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. Как выяснилось, трансцендентных чисел в некотором смысле гораздо больше, чем алгебраических (см. ниже).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

  1. Если t — трансцендентное число, то [math]\displaystyle{ -t }[/math] и [math]\displaystyle{ 1/t }[/math] также трансцендентны.
  2. Если a — алгебраическое число, не равное нулю, t — трансцендентное, то [math]\displaystyle{ a \pm t,\ at,\ a/t,\ t/a }[/math] трансцендентны.
  3. Если t — трансцендентное число, а [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное, то [math]\displaystyle{ t^n }[/math] и [math]\displaystyle{ \sqrt[n]t }[/math] трансцендентны.

История

Приближение рациональными числами: от Лиувилля до Рота

Понятие трансцендентных чисел, противопоставленных алгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что синус не является алгебраической функцией[1]. Более обстоятельно этот вопрос в 1740-е годы рассмотрел Эйлер[2]; он заявил [3], что значение логарифма [math]\displaystyle{ \log_a{b} }[/math] для рациональных чисел [math]\displaystyle{ a, b }[/math] не является алгебраическим, за исключением случая, когда [math]\displaystyle{ b=a^c }[/math] для некоторого рационального [math]\displaystyle{ c. }[/math] Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века. Эйлеру принадлежат и сами термины: алгебраическое и трансцендентное число (в работе 1775 года)[4].

Первые конкретные примеры трансцендентных чисел указал Жозеф Лиувилль в 1840-х годах с помощью непрерывных дробей. Позднее, в 1850-х годах, он сформулировал необходимое условие для того, чтобы число было алгебраическим; соответственно, если это условие нарушается, то число заведомо трансцендентно[5]. С помощью такого критерия он описал широкий класс трансцендентных чисел, получивший название «чисел Лиувилля». Позднее было установлено, что числа Лиувилля образуют на вещественной числовой оси всюду плотное множество, имеющее мощность континуума и вместе с тем нулевую меру Лебега[6].

Критерий Лиувилля по существу означает, что алгебраические числа не могут быть хорошо аппроксимированы (приближены) рациональными числами (см. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел). Таким образом, если число хорошо аппроксимируется рациональными числами, то оно обязано быть трансцендентным. Точный смысл понятия «хорошо аппроксимируется» у Лиувилля следующий: если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] является алгебраическим числом степени [math]\displaystyle{ d \geqslant 2 }[/math] и ε — любое положительное число, то неравенство

[math]\displaystyle{ \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\lt \frac{1}{q^{d+\varepsilon}} }[/math]

может иметь лишь конечное число рациональных решений [math]\displaystyle{ p/q. }[/math] Таким образом, для доказательства трансцендентности следует убедиться, что при любых [math]\displaystyle{ d }[/math] и [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует бесконечно много решений указанного неравенства[7].

В XX веке труды Акселя Туэ[8], Карла Зигеля[9] и Клауса Рота[10] позволили несколько упростить проверку неравенства Лиувилля, заменив выражение [math]\displaystyle{ d+\varepsilon }[/math] сначала на [math]\displaystyle{ d/2+\varepsilon+1, }[/math] а затем (1955 год) на [math]\displaystyle{ 2+\varepsilon. }[/math] Этот результат, известный как теорема Туэ — Зигеля — Рота, как полагали, уже не может быть улучшен, так как проверено, что замена [math]\displaystyle{ 2+\varepsilon }[/math] на просто 2 даёт ошибочное утверждение. Однако Серж Ленг предложил улучшение версии Рота; в частности, он предположил, что [math]\displaystyle{ q^{2+\varepsilon} }[/math] можно заменить на меньшее выражение [math]\displaystyle{ q^2\ln(q)^{1+\varepsilon} }[/math].

Теорема Туэ — Зигеля — Рота эффективно завершила работу, начатую Лиувиллем, она позволила математикам доказать трансцендентность многих чисел — например, константы Чемпернауна. Тем не менее данная методика недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа; в частности, она неприменима к числам [math]\displaystyle{ e }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi }[/math][11].

Вспомогательные функции: от Эрмита до Бейкера

Для анализа таких чисел, как [math]\displaystyle{ e }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi, }[/math] в девятнадцатом веке были разработаны другие методы. Указанные две константы, как известно, связаны тождеством Эйлера. Удобным инструментом анализа стали так называемые вспомогательные функции[англ.], которые имеют много нулей в исследуемых точках. Здесь много нулей может означать буквально большое число нулей, или всего один ноль, но с высокой кратностью, или даже множество нулей с высокой кратностью каждый.

Шарль Эрмит в 1873 году, чтобы доказать трансцендентность [math]\displaystyle{ e, }[/math] использовал вспомогательные функции, аппроксимирующие функцию [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math] для каждого натурального числа [math]\displaystyle{ k }[/math][12]. В 1880-е годы результаты Эрмита были использованы Фердинандом фон Линдеманом[13] для того, чтобы доказать: если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — ненулевое алгебраическое число, то [math]\displaystyle{ e^\alpha }[/math] трансцендентно. В частности, отсюда следует, что число [math]\displaystyle{ \pi }[/math] трансцендентно, поскольку [math]\displaystyle{ e^{i\pi} }[/math] является алгебраическим числом (равно -1). Это открытие закрывает такую известную проблему античности, как «квадратура круга». Другой класс чисел, чья трансцендентность следует из теоремы Линдемана — логарифмы алгебраических чисел[6].

Дальнейшим развитием темы занялся Карл Вейерштрасс, опубликовавший в 1885 году теорему Линдемана–Вейерштрасса[14]. Он значительно расширил класс чисел с доказанной трансцендентностью, включив в него значения функций синуса и косинуса почти для всех алгебраических значений аргументов[4].

В 1900 году Давид Гильберт в своём знаменитом докладе на Втором Международном конгрессе математиков перечислил важнейшие математические проблемы. В седьмой из них, одной из самых трудных (по его собственной оценке), ставился вопрос о трансцендентности чисел вида [math]\displaystyle{ a^b, }[/math] где [math]\displaystyle{ a,b }[/math] — алгебраические числа, [math]\displaystyle{ a }[/math] не ноль и не единица, а [math]\displaystyle{ b }[/math] иррационально. В 1930-х годах Александр Гельфонд[15] и Теодор Шнайдер[16] доказали, что все такие числа действительно трансцендентны (теорема Гельфонда—Шнайдера). Авторы использовали для доказательства неявную вспомогательную функцию, существование которой гарантирует лемма Зигеля[англ.]. Из теоремы Гельфонда–Шнайдера вытекает трансцендентность таких чисел, как [math]\displaystyle{ e^\pi }[/math], [math]\displaystyle{ 2^{\sqrt{2}} }[/math] и постоянная Гельфонда[6].

Следующий важный результат в этой области был получен в 1960-х годах, когда Алан Бейкер продвинулся в решении проблемы, поставленной Гельфондом и касающейся линейных форм над логарифмами. Ранее Гельфонду удалось найти нетривиальную нижнюю границу для выражения:

[math]\displaystyle{ |\beta_1\log\alpha_1 +\beta_2\log\alpha_2|\, }[/math]

где все четыре неизвестные величины являются алгебраическими, причём [math]\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2 }[/math] не равны нулю или единице, а [math]\displaystyle{ \beta_1, \beta_2 }[/math] иррациональны. Найти аналогичные нижние границы для суммы трёх и более логарифмов Гельфонду не удалось. Доказательство теоремы Бейкера[англ.] содержало нахождение таких границ и решение проблемы числа классов Гаусса[англ.]. Эта работа принесла Бейкеру премию Филдса 1970 года за её использование для решения диофантовых уравнений.

Из теоремы Бейкера следует, что если [math]\displaystyle{ \alpha_1 \dots \alpha_n }[/math] — алгебраические числа, не равные нулю или единице, и [math]\displaystyle{ \beta_1 \dots \beta_n }[/math] — алгебраические числа такие, что [math]\displaystyle{ 1, \beta_1 \dots \beta_n }[/math] линейно независимы над полем рациональных чисел, то число [math]\displaystyle{ \alpha_1^{\beta_1}\alpha_2^{\beta_2}\cdots\alpha_n^{\beta_n} }[/math] трансцендентно[17].

Другие методы: Кантор и Зильбер

В 1874 году Георг Кантор, разрабатывая свою теории множеств, доказал, что алгебраические числа могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Другими словами, множество алгебраических чисел счётно, а тогда множество трансцендентных чисел должно быть не только бесконечно, но и более чем счётно (континуально)[18]. Позже, в 1891 году, Кантор использовал для доказательства более простой и привычный диагональный метод[19]. Встречаются мнения, что эти результаты Кантора непригодны для построения конкретных трансцендентных чисел[20], однако на деле доказательства в обоих вышеупомянутых документах дают методы построения трансцендентных чисел[21]. Кантор использовал теорию множеств для доказательства полноты множества трансцендентных чисел.

Одной из последних тенденций при решении задач теории трансцендентных чисел стало использование теории моделей. Проблема состоит в том, чтобы определить степень трансцендентности поля

[math]\displaystyle{ K=\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_n,e^{x_1},\ldots,e^{x_n}) }[/math]

для комплексных чисел [math]\displaystyle{ x_1,\ldots,x_n, }[/math] которые являются линейно независимыми над полем рациональных чисел. Стивен Шеньюл (Stephen Schanuel) предположил, что ответ, по крайней мере, n, но доказательства этого пока нет. В 2004 году, правда, Борис Зильбер опубликовал работу, которая использует теоретико-модельные методы, чтобы создать структуру, которая ведёт себя очень похоже на комплексные числа, снабжённые операциями сложения, умножения и возведения в степень. Кроме того, в этой абстрактной структуре гипотеза Шеньюла действительно выполняется[22]. К сожалению, пока нет уверенности, что эта структура действительно такая же, как комплексные числа с названными операциями.

Подходы

Выше уже упоминалось, что множество алгебраических чисел всего лишь счётно и, следовательно, «почти все» числа трансцендентны. Трансцендентность числа, таким образом, представляют типичный случай; однако обычно не просто доказать, что данное число является трансцендентным. По этой причине теория трансцендентности часто предпочитает более количественный подход: пусть дано комплексное число α; спрашивается, насколько близко оно к алгебраическим числам? Например, если удаётся показать, что никакой рост степени многочлена или его коэффициентов не может сделать α его корнем, то это число должно быть трансцендентным.

Для реализации этой идеи можно найти нижнюю границу формы:

[math]\displaystyle{ |P(\alpha)| \gt F(A, d), }[/math]

где правая сторона — некоторая положительная функция, зависящая от некоторой меры [math]\displaystyle{ A }[/math] коэффициентов многочлена и его степени [math]\displaystyle{ d; }[/math] нижняя грань («мера трансцендентности») определяется по всем ненулевым многочленам. Случай [math]\displaystyle{ d=1 }[/math] соответствует классической задаче диофантовых приближений, то есть поиску нижней грани для выражения:

[math]\displaystyle{ |ax + b| }[/math]

Методы теории трансцендентности и диофантовых приближений имеют много общего: они оба используют концепцию вспомогательных функций.

Обобщения

Определение трансцендентности можно обобщить. Набор чисел [math]\displaystyle{ \alpha_1 \dots \alpha_n }[/math] называется алгебраически независимым над полем [math]\displaystyle{ K }[/math], если не существует ненулевого многочлена [math]\displaystyle{ P(x_1 \dots x_n) }[/math] с коэффициентами в [math]\displaystyle{ K }[/math] такого, что [math]\displaystyle{ P(\alpha_1 \dots \alpha_n) = 0. }[/math] Для поля рациональных чисел и набора из одного числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] это определение совпадает с данным выше определением трансцендентности [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]. Разработана также теория трансцендентных p-адических чисел[6].

Открытые проблемы

Упомянутая выше теорема Гельфонда–Шнайдера открыла обширный класс трансцендентных чисел, но этот класс всего лишь счётный, и для многих важных констант до сих пор не известно, трансцендентны ли они. Не всегда даже известно, являются ли они иррациональными. Среди них, например, различные сочетания [math]\displaystyle{ \pi }[/math] и e, константа Апери, постоянная Эйлера — Маскерони[23].

Существующие достижения в теории касаются преимущественно чисел, связанных с экспонентой. Это означает, что нужны совершенно новые методы. Главная проблема в теории трансцендентности — доказать, что конкретный набор трансцендентных чисел является алгебраически независимым, это более сильное утверждение, чем то, что отдельные числа в наборе трансцендентны. Мы знаем, что [math]\displaystyle{ \pi }[/math] и e трансцендентны, но это не означает, что трансцендентно [math]\displaystyle{ \pi+e }[/math] или другие комбинации этих чисел (за исключением [math]\displaystyle{ e^\pi, }[/math] постоянной Гельфонда, которая, как уже известно, трансцендентна). Гипотеза Шеньюла решает проблему с [math]\displaystyle{ \pi+e, }[/math] однако она также относится только к числам, связанным с экспонентой.

Примечания

  1. ↑ Bourbaki N. Elements of the History of Mathematics, Springer (1994).
  2. ↑ Гельфонд, 1952, с. 8.
  3. ↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (неопр.). — Lausanne, 1748.
  4. ↑ 4,0 4,1 Жуков А..
  5. ↑ J. Liouville. Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques, Comptes Rendus Acad.
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 Математическая энциклопедия, 1985, с. 426—427.
  7. ↑ Гельфонд, 1952, с. 9.
  8. ↑ Thue, A. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen (неопр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1909. — Т. 135. — С. 284—305. — doi:10.1515/crll.1909.135.284.
  9. ↑ Siegel, C. L. Approximation algebraischer Zahlen (англ.) // Mathematische Zeitschrift[англ.] : journal. — 1921. — Vol. 10, no. 3—4. — P. 172—213. — doi:10.1007/BF01211608.
  10. ↑ Roth, K. F. Rational approximations to algebraic numbers (англ.) // Mathematika[англ.] : journal. — 1955. — Vol. 2, no. 1. — P. 1—20. — doi:10.1112/S0025579300000644.
  11. ↑ Mahler, K. On the approximation of π (неопр.) // Proc. Akad. Wetensch. Ser. A. — 1953. — Т. 56. — С. 30—42.
  12. ↑ Hermite, C. Sur la fonction exponentielle (неопр.) // C. R. Acad. Sci. Paris[англ.]. — 1873. — Т. 77.
  13. ↑ Lindemann, F. Ueber die Zahl π  (неопр.) // Mathematische Annalen. — 1882. — Т. 20, № 2. — С. 213—225. — doi:10.1007/BF01446522.
  14. ↑ Weierstrass, K. Zu Hrn. Lindemann's Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl' (нем.) // Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin : magazin. — 1885. — Bd. 2 pages=1067—1086.
  15. ↑ Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 9 августа 2017. Архивировано 17 октября 2011 года.Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 9 августа 2017. Архивировано 17 октября 2011 года..
  16. ↑ Schneider, T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. — 1935. — Bd. 172. — S. 65—69. — doi:10.1515/crll.1935.172.65.
  17. ↑ Baker A. Linear forms in the logarithms of algebraic numbers.
  18. ↑ Cantor, G. Ueber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. — 1874. — Bd. 77. — S. 258—262. — doi:10.1515/crll.1874.77.258.
  19. ↑ Cantor, G. Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (нем.) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung : magazin. — 1891. — Bd. 1. — S. 75—78. Архивировано 7 мая 2021 года.
  20. ↑ Kac, M.; Stanislaw, U. Mathematics and Logic (неопр.). — Fredering A. Praeger, 1968. — С. 13.
  21. ↑ Gray, R. Georg Cantor and Transcendental Numbers (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1994. — Vol. 101, no. 9. — P. 819—832. — JSTOR 2975129. Архивировано 21 января 2022 года.
  22. ↑ Zilber, B. Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero (англ.) // Annals of Pure and Applied Logic : journal. — 2005. — Vol. 132, no. 1. — P. 67—95. — doi:10.1016/j.apal.2004.07.001.
  23. ↑ Hyun Seok, Lee.

Литература

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теория_трансцендентных_чисел&oldid=5864222