Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — алгебраическое число степени [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math], а [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] — любые целые числа [math]\displaystyle{ (q \ne 0) }[/math], то имеет место неравенство
- [math]\displaystyle{ \left|\alpha-\frac pq\right|\gt \frac C{q^n} }[/math]
где [math]\displaystyle{ C }[/math] — положительная константа, зависящая только от [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и выражаемая в явном виде через сопряженные с [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] величины.
С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например
- [math]\displaystyle{ \xi=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n!}}. }[/math]
Обобщения
При [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для [math]\displaystyle{ n \ge 3 }[/math] теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.
В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] степени [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ \nu\gt \frac n2+1 }[/math] справедливо неравенство
- [math]\displaystyle{ \left|\alpha-\frac pq\right|\gt \frac C{q^\nu} }[/math] (*)
Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при
- [math]\displaystyle{ \nu \gt \min_{s=\{1,\;2,\;\ldots,\;n-1\}}\left(\frac n{s+1}+s\right) }[/math], где [math]\displaystyle{ s }[/math] — целое,
в частности, при [math]\displaystyle{ \nu \gt 2 \sqrt n }[/math]. Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при [math]\displaystyle{ \nu \gt \sqrt{2n} }[/math]. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом [math]\displaystyle{ \nu \gt 2 }[/math]. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число [math]\displaystyle{ \xi }[/math], алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений [math]\displaystyle{ p/q }[/math], удовлетворяющих неравенству
- [math]\displaystyle{ \left|\xi-\frac pq\right|\lt \frac 1 {q^2} }[/math].
Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная [math]\displaystyle{ C = C(\alpha,\;\nu) }[/math] в неравенстве зависит от величин [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \nu }[/math].
См. также
Ссылки
- Michael Filaseta. The Beginning of Transcendental Numbers