Лиувиллево число

Лиувиллево число — иррациональное число [math]\displaystyle{ x }[/math], которое может быть приближено рациональными числами так, что для любого целого [math]\displaystyle{ n }[/math] существует бесконечно много пар целых [math]\displaystyle{ (p, q) }[/math] ([math]\displaystyle{ q\gt 1 }[/math]) таких, что:

[math]\displaystyle{ 0\lt \left |x- \frac{p}{q} \right| \lt \frac{1}{q^{n}} }[/math].

Диофантово число — иррациональное число, которое таким образом представлено быть не может, то есть при приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя:

[math]\displaystyle{ \exists C, \alpha\gt 0\colon \quad \forall p\in \Z, q\in\N \quad \left|x-\frac{p}{q} \right| \geqslant \frac{C}{q^{\alpha}} }[/math].

По теореме Лиувилля о приближении алгебраических чисел, всякое алгебраическое иррациональное число является диофантовым. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.

Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега. Лиувиллевы числа, напротив, типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно.

Мера иррациональности чисел Лиувилля: [math]\displaystyle{ \mu(x) = +\infty }[/math], кроме того, если мера иррациональности числа бесконечна, то оно лиувиллево (иногда это свойство принимается за определение чисел Лиувилля).

Классический пример лиувиллева числа — постоянная Лиувилля, определяемая как:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0{,}1100010000000000000000010000\ldots }[/math]