Последовательность

В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Более общие случаи см. в разделе Вариации и обобщения.

В данной статье последовательность подразумевается бесконечной; случаи конечной последовательности оговариваются особо.

Примеры

Примеры числовой последовательности:

Примером конечной последовательности может служить последовательность домов на улице.
Многочлен от одной переменной [math]\displaystyle{ a_0+a_1x + \dots +a_n x^n }[/math] можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов, или бесконечную — в предположении [math]\displaystyle{ a_i = 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i \gt n }[/math].
Последовательность простых чисел является одной из наиболее известных нетривиальных бесконечных числовых последовательностей.
Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностей — периодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа [math]\displaystyle{ \frac{13}{9} }[/math] конечна и равна [math]\displaystyle{ [1; 2, 4] }[/math], а цепная дробь числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math] уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом: [math]\displaystyle{ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots] }[/math].
В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.
Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на [math]\displaystyle{ n }[/math]-ой позиции находится множество всех многочленов степени [math]\displaystyle{ n }[/math] с целыми коэффициентами от одной переменной.

Числовая последовательность

Строгое определение

Пусть задано некоторое множество [math]\displaystyle{ X }[/math] элементов произвольной природы.

Всякое отображение [math]\displaystyle{ f\colon\mathbb{N}\to X }[/math] множества натуральных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] в заданное множество [math]\displaystyle{ X }[/math] называется последовательностью^[1] (элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math]).

Обозначения

Последовательности вида

[math]\displaystyle{ x_1, x_2, x_3,\dots }[/math]

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

[math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] или [math]\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^{\infty} }[/math].

Иногда используются фигурные скобки:

[math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math].

Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:

[math]\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^N }[/math].

Также последовательность может быть записана как

[math]\displaystyle{ (f(n)) }[/math],

если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при [math]\displaystyle{ f(n)=n^3 }[/math] последовательность можно записать в виде [math]\displaystyle{ (n^3) }[/math].

Связанные определения

Образ натурального числа [math]\displaystyle{ n }[/math], а именно элемент [math]\displaystyle{ x_n=f(n) }[/math], называется [math]\displaystyle{ n }[/math]-ым членом последовательности, а порядковый номер [math]\displaystyle{ n }[/math] члена последовательности [math]\displaystyle{ x_n }[/math] — его индексом.
Подмножество [math]\displaystyle{ f\left[\mathbb{N}\right] }[/math] множества [math]\displaystyle{ X }[/math], которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» члены последовательности, «перемещается» по носителю.
Подпоследовательностью последовательности [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] называется зависящая от [math]\displaystyle{ k }[/math] последовательность [math]\displaystyle{ (x_{n_k}) }[/math], где [math]\displaystyle{ (n_k) }[/math] — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.

Замечания

Любое отображение множества [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] в себя также является последовательностью.
Последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] может быть рассмотрена, как упорядоченное подмножество [math]\displaystyle{ X }[/math], изоморфное множеству натуральных чисел.

Способы задания числовых последовательностей

Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие **последовательности** чисел Фибоначчи, встречаются у самых разных растений

Аналитический, где формула определяет последовательность n-го члена, например: [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n}{n+1} }[/math]
Рекуррентный, Например, числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие: [math]\displaystyle{ a_1 = 0,a_2= 1,a_{n+2}= a_n+a_{n+1} }[/math]
Словесный; Например, для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность её десятичных приближений по недостатку или избытку, округляя в каждой итерации дробь в меньшую или большую сторону.

Последовательность действий

«Алгоритм — это строгая и логичная последовательность действий для решения какой-либо задачи (математической, информационной и т. п.).»^[3]^[4]

Последовательности в математике

В математике рассматривают различные типы последовательностей:

числовые последовательности;
последовательности элементов метрического пространства;
временны́е ряды как числовой, так и не числовой природы;
последовательности элементов функционального пространства;
последовательности состояний систем управления и автоматов.

Практически важные задачи, возникающие при изучении последовательностей:

Выяснение вопроса, конечна данная последовательность или бесконечна. Например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет.
Поиск закономерностей среди членов последовательности.
Поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го члена последовательности. Например, для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го простого числа неплохое приближение даёт формула: [math]\displaystyle{ n \ln(n) }[/math] (существуют и более точные).
Прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу [math]\displaystyle{ ( }[/math]числовому или не числовому, в зависимости от типа множества [math]\displaystyle{ X). }[/math]

Вариации и обобщения

Члены последовательности не обязательно должны нумероваться натуральными числами — к примеру, последовательность Фибоначчи может быть продолжена на отрицательные целые числа.
Существуют и так называемые многомерные последовательности, нумеруемые элементами декартова произведения [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\dots\times\mathbb{N} }[/math]. К таким относится, например, многомерное расширение последовательности Туэ-Морса. Также многочлен от нескольких переменных [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots x_{n-1},x_n }[/math] можно рассматривать как конечную [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерную последовательность, где на позиции [math]\displaystyle{ i_1,i_2,\dots i_{n-1},i_n }[/math] находится коэффициент при произведении [math]\displaystyle{ x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_n^{i_n} }[/math].

См. также

Примечания

↑ Последовательность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 506—507.
↑ Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: справочные материалы (рус.). — Москва: Просвещение, 1988. — 416 с.
↑ Толковый словарь / под ред. Д. В. Дмитриева. — АСТ, Lingua, Астрель, 2003. — 1584 с. — ISBN 5-17-016483-1, 5-271-05995-2.
↑ И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. основы алгоритмизации и программирования. — Москва: Издательский центр "Академия", 2016. — С. 10. — 303 с. — ISBN 978-5-4468-3155-5. Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine

Литература

Последовательность // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 242-245. — 352 с.

[1] Последовательность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 506—507.

[2] Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: справочные материалы (рус.). — Москва: Просвещение, 1988. — 416 с.

[3] Толковый словарь / под ред. Д. В. Дмитриева. — АСТ, Lingua, Астрель, 2003. — 1584 с. — ISBN 5-17-016483-1, 5-271-05995-2.

[4] И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. основы алгоритмизации и программирования. — Москва: Издательский центр "Академия", 2016. — С. 10. — 303 с. — ISBN 978-5-4468-3155-5. Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine

[1]

[2]

[3]

[4]

Последовательности и ряды
Последовательности	Числовая последовательность Фундаментальная последовательность Линейная рекуррентная последовательность Числа Фибоначчи Фигурные числа Факториал Последовательность Баркера Последовательность де Брёйна
Ряды, основное	Сумма ряда Остаток ряда Условная сходимость Знакочередующийся ряд Мультисекция ряда
Числовые ряды (действия с числовыми рядами)	Гармонический ряд Ряд Лейбница Ряд обратных квадратов Ряд обратных простых чисел Ряд Дирихле Ряд Меркатора Ряд Гранди 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + …
Функциональные ряды	Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический ряд Ряд Винера
Другие виды рядов	Ряд Неймана Ряд Пюизё