Квадратичная иррациональность

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] с рациональными коэффициентами [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами[1] [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c }[/math]). В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Иррациональность числа [math]\displaystyle{ x }[/math] означает, что оно не может быть представлено в виде рационального числа (дроби). Из этого следует, что многочлен [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] неприводим в поле рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}, }[/math] то есть не распадается в этом поле на множители первой степени[1].

Алгебраические свойства

Решение квадратного уравнения [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] даёт формула:

[math]\displaystyle{ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ D=b^2-4ac }[/math] (дискриминант уравнения). Вещественность корня означает, что [math]\displaystyle{ D \geqslant 0. }[/math] Следовательно, всякая квадратичная иррациональность имеет вид:

[math]\displaystyle{ x=u + v\sqrt{D}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ u, v, D }[/math] — рациональные числа, причём [math]\displaystyle{ v \ne 0 }[/math], а подкоренное выражение [math]\displaystyle{ D }[/math] неотрицательно и не является полным квадратом рационального числа[2].

Примеры: [math]\displaystyle{ 11 - \sqrt{2};\quad \frac{1+\sqrt{5}}{2} }[/math].

Из определения следует, что квадратичные иррациональности являются алгебраическими числами второй степени. Отметим, что обратный элемент для [math]\displaystyle{ x=u + v\sqrt{D} }[/math] также является квадратичной иррациональностью:

[math]\displaystyle{ {1 \over u+v\sqrt{D}} = {u - v\sqrt{D} \over u^2-v^2D}. }[/math]

Число [math]\displaystyle{ x'=u - v\sqrt{D} }[/math] называется сопряжённым для [math]\displaystyle{ x=u + v\sqrt{D}. }[/math] Имеют место формулы:

[math]\displaystyle{ (x+y)' = x'+y'; \quad (xy)' = x'y';\quad \left(\frac 1x \right)' = \frac {1}{x'}. }[/math]

Канонический формат

Без ограничения общности можно упростить уравнение [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] следующим образом.

  1. Коэффициенты рассматриваемого уравнения 2-й степени можно сделать целыми числами, поскольку от знаменателей дробей легко избавиться, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей. Дискриминант [math]\displaystyle{ D }[/math] тогда тоже становится целым числом.
  2. Если старший коэффициент [math]\displaystyle{ a\lt 0, }[/math] то умножим уравнение на [math]\displaystyle{ -1 }[/math].
  3. Наконец, разделим полученное уравнение [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] на наибольший общий делитель НОД[math]\displaystyle{ (a,b,c) }[/math].

В итоге получим уравнение [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] с целочисленными взаимно простыми коэффициентами, причём старший коэффициент положителен[3]. Это уравнение однозначно связано с парой своих корней, и множество таких уравнений счётно. Поэтому множество квадратичных иррациональностей также счётно.

Часто удобно в выражении корня [math]\displaystyle{ x=u + v\sqrt{D}, }[/math] выполнить ещё одну модификацию: если в каноническое разложение [math]\displaystyle{ D }[/math] входят какие-либо квадраты, вынесем их за знак радикала, так что оставшееся значение [math]\displaystyle{ D }[/math] будет свободно от квадратов.

Квадратичные поля

Основная статья: Квадратичное поле

Сумма, разность и произведение квадратичных иррациональностей с одним и тем же дискриминантом [math]\displaystyle{ D }[/math] либо имеют тот же формат, либо являются рациональными числами, поэтому вместе они образуют поле, являющееся нормальным расширением второй степени поля рациональных чисел ℚ. Это поле обозначается [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{D}) }[/math] и называется квадратичным полем. Всякое такое расширение [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] может быть получено описанным способом. Группа Галуа расширения, кроме тождественного автоморфизма, содержит отображение иррационального числа в сопряжённое ему (в указанном выше смысле)[4].

Предположим, что, как описано выше, [math]\displaystyle{ D }[/math] — свободное от квадратов целое число. Тогда для разных значений [math]\displaystyle{ D }[/math] получаются разные квадратичные поля [5].

Для квадратичного поля можно построить его кольцо целых, то есть множество корней приведённых многочленов с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1. Свободное от квадратов [math]\displaystyle{ D }[/math] не может делиться на 4, поэтому возможны два случая[4] в зависимости от того, какой остаток даёт [math]\displaystyle{ D }[/math] при делении на 4.

  1. Если [math]\displaystyle{ D }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ 4k+1, }[/math] то целые элементы — это числа вида [math]\displaystyle{ m+n\cdot\tfrac{1 + \sqrt{D}}{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ m,n }[/math] — натуральные числа.
  2. Если [math]\displaystyle{ D }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ 4k+2 }[/math] или [math]\displaystyle{ 4k+3, }[/math] то целые элементы — это числа вида [math]\displaystyle{ m+n\sqrt D }[/math], где [math]\displaystyle{ m,n }[/math] — натуральные числа.

Связь с непрерывными дробями

Вещественные квадратичные иррациональности связаны с непрерывными дробями теоремой Лагранжа (иногда называемой теоремой Эйлера—Лагранжа)[6]:

Вещественное число является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда оно разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь.

Пример:

[math]\displaystyle{ \sqrt{3}=1.732\ldots=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots] }[/math]

Непрерывная дробь, у которой период начинается с первого же звена, называется чисто периодической. Эварист Галуа в 1828 году доказал: непрерывная дробь для квадратической иррациональности [math]\displaystyle{ x }[/math] будет чисто периодической тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math], а сопряжённая иррациональность [math]\displaystyle{ x' }[/math] лежит в интервале [math]\displaystyle{ (-1; 0) }[/math]. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряжённая квадратическая иррациональность имеет те же звенья, но расположенные в обратном порядке[7].

Обобщение

Квадратичная иррациональность является частным случаем «иррациональности [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени», которая является корнем неприводимого в поле [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] многочлена [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени с целыми коэффициентами. Рациональные числа получаются при [math]\displaystyle{ n=1, }[/math] а квадратичные иррациональности соответствуют случаю [math]\displaystyle{ n=2. }[/math]

Некоторые источники включает в число квадратичных иррациональностей также и комплексные корни квадратных уравнений (например, гауссовы целые числа или числа Эйзенштейна).

Г. Ф. Вороной в работе «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (1894) распространил теорию (включая непрерывные дроби) на случай кубических иррациональностей.

История

Феодор Киренский и его ученик Теэтет Афинский (IV в. до н. э.) первыми доказали, что если число [math]\displaystyle{ N }[/math] не представляет собой полный квадрат, то [math]\displaystyle{ \sqrt{N} }[/math] не является рациональным числом, то есть не может быть точно выражен в виде дроби. Это доказательство опиралось на «лемму Евклида». Евклид посвятил этим вопросам десятую книгу своих «Начал»; он, как и современные источники, использовал основную теорему арифметики.

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Квадратичная иррациональность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 776.
  2. ↑ Галочкин А. И. Квадратичная иррациональность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 776.
  3. ↑ Нестеренко Ю. В., 2008, с. 207.
  4. ↑ 4,0 4,1 Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 230—232. — 428 с.
  5. ↑ Бухштаб А. А., 2015, с. 149—150.
  6. ↑ Нестеренко Ю. В., 2008, с. 208—209.
  7. ↑ Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. — М.: Наука, 1965. — С. 100.

Литература

  • Бухштаб А. А. Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби // Теория чисел. — 4-е изд. — М.: Лань, 2015. — 384 с. — ISBN 978-5-8114-0847-4.
  • Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
  • Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.

Ссылки


Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Квадратичная_иррациональность&oldid=11049272