Короткая арифметика Гильберта
Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы, иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения, но и сложения. Этот пример принадлежит Давиду Гильберту[1].
Определение
Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида [math]\displaystyle{ 4n+1 }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] пробегает все натуральные числа[2]:
- [math]\displaystyle{ 1, 5, 9, 13, 17, \dots }[/math]
Иногда их называют числа Гильберта[3]. На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: [math]\displaystyle{ (4a + 1)(4b + 1) = 4(ab+a+b)+1 }[/math]. Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой.
Простые числа Гильберта
В арифметике Гильберта можно определить простые числа (простые числа Гильберта[a]) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта, если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от [math]\displaystyle{ 1 }[/math])[5][6]. Последовательность простых Гильберта начинается так[7]:
- [math]\displaystyle{ 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, \dots }[/math]
Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле. Например, [math]\displaystyle{ 21 }[/math] является составным в натуральных числах, поскольку [math]\displaystyle{ 21 = 3\cdot7 }[/math], однако оно является простым Гильберта, поскольку ни [math]\displaystyle{ 3 }[/math], ни [math]\displaystyle{ 7 }[/math] (то есть все делители числа [math]\displaystyle{ 21 }[/math], отличные от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю [math]\displaystyle{ 4 }[/math] следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида [math]\displaystyle{ 4n+1 }[/math] (такие числа называются простыми числами Пифагора), либо полупростым вида [math]\displaystyle{ (4a + 3)(4b + 3) }[/math].
Невыполняемость основной теоремы арифметики
Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики: такое разложение может быть не единственным. Например, [math]\displaystyle{ 441 }[/math] является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:
- [math]\displaystyle{ 441=9\cdot 49 = 21 \cdot 21 }[/math].
где числа [math]\displaystyle{ 9 }[/math], [math]\displaystyle{ 49 }[/math] и [math]\displaystyle{ 21 }[/math] являются простыми Гильберта[1][4].
Примечания
Комментарии
- ↑ В учебнике Кострикина они названы квазипростыми числами[4].
Источники
- ↑ 1,0 1,1 Жиков В. В. Основная теорема арифметики // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 113. Архивировано 23 ноября 2018 года.
- ↑ последовательность A016813 в OEIS
- ↑ Flannery S., Flannery D. In Code: A Mathematical Journey. — Profile Books, 2000. — С. 35.
- ↑ 4,0 4,1 Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — С. 72—73. — 496 с.
- ↑ Don Redmond. Number Theory: An Introduction to Pure and Applied Mathematics. — CRC Press, 1996-04-23. — С. 30. — 784 с.
- ↑ James J. Tattersall. Elementary Number Theory in Nine Chapters. — Cambridge University Press, 1999-10-14. — С. 84. — 420 с.
- ↑ последовательность A057948 в OEIS
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hilbert Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Основная теорема арифметики. Школа Опойцева — Лекции и Уроки. — Видеоурок. Дата обращения: 18 марта 2020.
