Теорема Лагранжа об обращении рядов

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Формулировка

Пусть функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] аналитична в точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ f'(z_0)\ne 0 }[/math]. Тогда в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ w_0=f(z_0) }[/math] обратная к ней функция [math]\displaystyle{ f^{-1}(w) }[/math] представима рядом вида

[math]\displaystyle{ f^{-1}(w)=z_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left.\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)^n\right)\right|_{z=z_0}(w-_w0)^n. }[/math]

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] по степеням другой голоморфной функции [math]\displaystyle{ w(z) }[/math] и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] и [math]\displaystyle{ w(z) }[/math] голоморфны в окрестности некоторой точки [math]\displaystyle{ a\in\Complex }[/math], притом [math]\displaystyle{ w(a)=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ a }[/math] — простой нуль функции [math]\displaystyle{ w(z) }[/math]. Теперь выберем некую область [math]\displaystyle{ D\ni a }[/math], в которой [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ w }[/math] голоморфны, а [math]\displaystyle{ w }[/math] однолистна в [math]\displaystyle{ \overline{D} }[/math]. Тогда имеет место разложение вида:

[math]\displaystyle{ f(z)=\sum_{n=0}^\infty d_n w^n(z), }[/math]

где коэффициенты [math]\displaystyle{ d_n }[/math] вычисляются по следующему выражению:

[math]\displaystyle{ d_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\zeta)w'(\zeta)}{w^{n+1}(\zeta)}\,d\zeta=\frac{1}{n!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left\{f'(z)\frac{(z-a)^n}{w^n(z)}\right\}. }[/math]

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида [math]\displaystyle{ w=\sum_{n=1}^\infty a_nz^n }[/math]. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда [math]\displaystyle{ z=\sum_{n=1}^\infty b_nw^n }[/math]:

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n!}\lim_{z\to 0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z}{w}\right)^n. }[/math]

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида [math]\displaystyle{ F\circ f^{-1} }[/math] справедливо представление в виде ряда

[math]\displaystyle{ F(f^{-1}(w))=z_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left.\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(F'(z)\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)^n\right)\right)\right|_{z=z_0}(w-w_0)^n. }[/math]

Литература

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Лагранжа_об_обращении_рядов&oldid=5832292