Неподвижная точка

Отображение с тремя неподвижными точками

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math].

К примеру, отображение [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-3x+3 }[/math] имеет неподвижные точки [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x=3 }[/math], поскольку [math]\displaystyle{ f(1)=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f(3)=3 }[/math].

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение [math]\displaystyle{ f(x)=x+1 }[/math] вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

[math]\displaystyle{ f(f(\dots f(x)\dots))=x }[/math],

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода [math]\displaystyle{ 1 }[/math]).

Притягивающие неподвижные точки

Шаги метода простой итерации [math]\displaystyle{ x_{n+1}=\cos(x_n) }[/math] с начальным значением [math]\displaystyle{ x_1 = -1 }[/math]. Пределом является число Дотти.

Неподвижная точка [math]\displaystyle{ x=f(x) }[/math] отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] — притягивающая, если результат последовательного применения [math]\displaystyle{ f }[/math] к любой точке [math]\displaystyle{ y }[/math], достаточно близкой к [math]\displaystyle{ x }[/math], будет стремиться к [math]\displaystyle{ x }[/math]:

[math]\displaystyle{ \underbrace{f(f(\dots f(y)\dots))}_{n}\rightarrow x, \quad n\rightarrow\infty }[/math].

При этом обычно требуют, чтобы результат каждой итерации не покидал некоторой большей окрестности точки [math]\displaystyle{ x }[/math] — то есть, чтобы точка [math]\displaystyle{ x }[/math] была асимптотически устойчива.

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие [math]\displaystyle{ |f'(x)|\lt 1 }[/math].

Метод Ньютона

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: решение уравнения оказывается притягивающей неподвижной точкой некоторого отображения, и потому может быть найдено как предел очень быстро сходящейся последовательности чисел, полученных его повторным применением.

Наиболее известным примером применения этого метода является нахождение квадратного корня из числа [math]\displaystyle{ a\geqslant 0 }[/math] как предела итераций отображения

[math]\displaystyle{ f(x)=\cfrac{x+\frac{a}{x}}{2} }[/math].

См. также

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Теорема Брауэра о неподвижной точке
• Особая точка дифференциального уравнения
• Теорема Шаудера — Тихонова
• Комбинатор неподвижной точки
• Теорема Клини о неподвижной точке
• Теорема о неподвижных точках нормальных функций

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — Гл. 2, п. 4.
• Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. — Гл. 5.
• Agarwal R. P., Meehan M., O’Regan D. Fixed Point Theory and Applications. — Cambridge University Press, 2001. — ISBN 0-521-80250-4.
• Borisovich Yu. G., Gel’man B. D., Myshkis A. D., Obukhovskii V. V. Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. — Vol. 24, Issue 6, pp 719—791.
• Fitzpatrick P. M., Petryshyn W. V. Fixed point theorems for multivalued noncompact acyclic mappings // Pacific Journal of Mathematics, 54:2, 1974.
• Шашкин Юрий Алексеевич, Неподвизжные Точки. — М.: Наука, 1989.